Πίνακας 2x2

mick7 · #1

Να βρεθεί ο 2χ2 πίνακας Μ ώστε

$\displaystyle M^2=\begin{bmatrix}33 & 44 \\66 & 88 \end{bmatrix}$

#2

mick7 έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 12:12 am Να βρεθεί ο 2χ2 πίνακας Μ ώστε

$\displaystyle M^2=\begin{bmatrix}33 & 44 \\66 & 88 \end{bmatrix}$

Ο

είναι τάξης

και στέλνει όλα τα διανύσματα σε πολλαπλάσιο του $\binom{1}{2}$ (άμεσο αν ελέγξουμε την δράση του στο $\binom{x}{y}$ ). Άρα και ο

, ως μη αντιστρέψιμος (διότι M^2

μη αντιστρέψιμος) και άρα τάξης

στέλνει όλα τα διανύσματα (επίσης) σε πολλαπλάσιο του $\binom{1}{2}$ . Οπότε ο

έχει την μορφή

$\displaystyle{ M=\begin{bmatrix}c & d \\2c & 2d \end{bmatrix}}$ .

Αλλά τότε $\displaystyle{M^2= \begin{bmatrix}c^2+2cd & cd+2d^2 \\2(c^2+2cd) & 2(cd+2d^2) \end{bmatrix}}$

Συγκρίνοντας με τον δοθέντα έχουμε $c^2+2cd =33, \, cd+2d^2=44$ , από όπου c=3,d=4

ή $c=-3,\,d=-4$ . Τελικά

$\displaystyle{ M=\begin{bmatrix}3 & 4 \\6 & 8 \end{bmatrix}}$ ή $\displaystyle{ M=\begin{bmatrix}-3 & -4 \\-6 & -8 \end{bmatrix}}$

#3

mick7 έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 12:12 am Να βρεθεί ο 2χ2 πίνακας Μ ώστε

$\displaystyle M^2=\begin{bmatrix}33 & 44 \\66 & 88 \end{bmatrix}$

Αλλιώς, από το θεώρημα Cayley-Hamilton και επειδή ο $\displaystyle{M}$ είναι φανερά μη αντιστρέψιμος, έχουμε

$\displaystyle{M^2=(tr M)M}$ .

Αν λοιπόν είναι

$\displaystyle M=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$ ,

λαμβάνουμε το σύστημα

$\displaystyle{a(a+d)=33, b(a+d)=44, c(a+d)=66, d(a+d)=88.}$

Με πρόσθεση την πρώτης και της τελευταίας προκύπτει $\displaystyle{a+d=\pm 11}$ οπότε αμέσως οδηγούμαστε στις λύσεις που έγραψε ο Μιχάλης προηγουμένως.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για να την δούμε με την στάνταρ διαδικασία.
Αρκεί ο πίνακας

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & a \\2 & 2a \end{bmatrix}$
με a>0

να έχει τετραγωνική ρίζα.
Εύκολα βλέπουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι το

και το

.
Μη αρνητικές και διακεκριμένες.
Κατά τα γνωστά βρίσκουμε την τετραγωνική του ρίζα.

Τα ''γνωστά''
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_a_matrix

mick7 · #5

Ευχαριστώ για τις λύσεις.Παρατηρούμε επίσης ότι M^2=11M

που εάν δεν κάνω λάθος είναι ένας projection matrix

https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_matrix

#6

mick7 έγραψε: Κυρ Οκτ 04, 2020 3:12 pm Ευχαριστώ για τις λύσεις.Παρατηρούμε επίσης ότι που εάν δεν κάνω λάθος είναι ένας projection matrix

https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_matrix

Δεν ξέρω την ορολογία στην Στατιστική αλλά στην Γραμμική Άλγεβρα και στην Συναρτησιακή Ανάλυση οι Προβολές (Projections) δεν είναι οι $M^2=\lambda M$ αλλά μόνο η ειδική περίπτωση M^2=M

. Βλέπε π.χ. εδώ.

Πίνακας 2x2

Πίνακας 2x2

Re: Πίνακας 2x2

Re: Πίνακας 2x2

Re: Πίνακας 2x2

Re: Πίνακας 2x2

Re: Πίνακας 2x2

Μέλη σε σύνδεση