Και άλλη ορίζουσα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $A \in \mathcal{M}_{n} \left( \mathbb{R} \right)$ αντιστρέψιμος πίνακας. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\det A = \frac{1}{n!}\begin{vmatrix} \mathrm{tr}(A) & 1 &0 & 0&\cdots &0\\ \mathrm{tr}(A^2) & \mathrm{tr}(A) &2 & 0&\cdots &0\\ \mathrm{tr}(A^3) & \mathrm{tr}(A^2) &\mathrm{tr}(A) & 3&\cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \mathrm{tr}(A^{n-1}) & \mathrm{tr}(A^{n-2}) & \cdots & \cdots & \mathrm{tr}(A) &n-1\\ \mathrm{tr}(A^{n}) & \mathrm{tr}(A^{n-1}) &\mathrm{tr}(A^{n-2}) & \cdots & \cdots & \mathrm{tr}(A) \\ \end{vmatrix}}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά...

ChrP · #3

Αυτό το αποτέλεσμα οφείλετε στούς Cayley - Hamilton -Frobenius
Για έναν $n \times n$ αντιστρέψιμο A, με μη μηδενική ορίζουσα:
$p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots c_1A+(-1)^nI_ndetA=0$

Είναι γνωστό ότι det(A)=(-1)^n c_0

Ας υπολογίσουμε το c_0

$p(l)=det(lI_n-A)=det(\exp(\ln(lI_n-A)))=\exp(tr(\ln(lI_n-A)))$
Εδώ χρησιμοποιήθηκε ότι $det(e^A)=e^{tr(A)}$
Τώρα από το ανάπτυγμα του $ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$
έχουμε $p(l)=l^{n}\exp(-tr(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(\frac{A}{l})^m}{m}))$
όπου το εκθετικό χρειάζετε μόνο να επεκταθεί σε βαθμό $l^{−n}$ , αφού p(l)

ειναι βαθμού

, οι υπόλοιπες αρνητικές δυνάμεις του

αυτόματα εξαφανίζονται από το θεώρημα C–H . Η παραγώγηση αυτής της έκφρασης ως προς

μας επιτρέπει να εκφράσουμε τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για κάποιον

ως , $m\times m$ ορίζουσες
$c_{n-m}=\frac{(-1)^m}{m!}\begin{vmatrix} tr(A) &m-1 &0 & 0&\cdots &0\\ tr(A^2) & tr(A) &m-2 & 0&\cdots &0\\ tr(A^3) & tr(A^2) & tr(A) & m-3&\cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ tr(A^{n-1}) & tr(A^{n-2}) & \cdots & \cdots & tr(A) &1\\ tr(A^{n}) & tr(A^{n-1}) &tr(A^{n-2}) & \cdots & \cdots & tr(A) \end{vmatrix}$

$c_{0}=\frac{(-1)^n}{n!}det(D)$
θέτω n=m

Ευκολα βλέπουμε οτι ο ανάστροφος του πίνακα μέσα ,μετα από κατάλληλες γραμμοπράξεις , στην ορίζουσα συμπίπτει με τον ζητούμενο και αφού
$det(D^{T})=det(D)$
$\det(A)=(-1)^nc_0=\frac{(-1)^{2n}}{n!}detD=\frac{1}{n!}detD$

Και άλλη ορίζουσα

Και άλλη ορίζουσα

Re: Και άλλη ορίζουσα

Re: Και άλλη ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση