Ασκησεις σε Sylow's Theorem, Εξισωση Κλασεων

TrItOs · #1

Βοήθεια για την εύρεση λύση των παρακάτω ασκήσεων:

Πρόβλημα (1): 'Έστω $|G| = p^{n}$ με p>n

και η

δρα σε ένα πεπερασμένο σύνολο

με

στοιχεία. Αν $f: G \rightarrow S_{m}$ μονομορφισμος και υπάρχει $x \in X$ με $g \cdot x = x$ για κάθε $g \in G$ ,
τότε $m \geqslant 1 + n p$ .
Λύση (1): Εφόσον $f: G \rightarrow S_{m}$ μονομορφισμος, τότε $p^{n} = |G| \Big| \big| S_{m} \big| = m! \Rightarrow p^{n} \big| m! \Rightarrow$ το

το συναντάμε τουλάχιστον

φορές στο γινόμενο $2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (m-1) \cdot m$ . Οπότε πρέπει $m \geqslant n p$ .
Έχουμε ότι $X_{G} = \Big \{ y \in X : g \cdot y = y , \forall g \in G \Big\}$ με $x \in X_{G} \Rightarrow \big| X_{G} \big| \geqslant 1$ .
Είναι $G \cdot y = \Big \{ g \in G : g \cdot y = y \Big \}$ και $\big| G \cdot y \big| \bigg| |G| = p^{n} \Rightarrow \big| G \cdot y \big| = p^{\lambda} , \lambda \in \big \{ 1 , p , p^{2} , \ldots , p^{n} \big\}$ .
Εξίσωση Κλάσεων:
$\displaystyle{m = |X| = \big| X_{G} \big| + \sum\limits_{| G \cdot y_{i} | > 1 , i=1}^{k} \big| G \cdot y_{i} \big| \geqslant 1 + \sum\limits_{\lambda_{i} \geqslant 1 , i = 1}^{k} p^{\lambda_{i}} \geqslant 1 + p k > 1 + n k}$ .
$\star \star \star$ Δεν έxω βρει ακόμα τη λύση, πως λύνεται $\star \star \star$

Πρόβλημα (2): Δείξτε ότι υπάρχει πεπερασμένη ομάδα

με τρεις Sylow p-υποομάδες
$P_{1}, P_{2}$ και $P_{3}$ τέτοιες ώστε $P_{1} \cap P_{2} = \{ e \}$ και $P_{1} \cap P_{3} \neq \{ e \}$ .
Λύση (2): Δεν έχω βρει ποια είναι αυτή η ομάδα

που το επιτυγχάνει αυτό.
$\star \star \star$ Δεν έxω βρει ακόμα τη λύση, πως λύνεται $\star \star \star$

Πρόβλημα (3): Έστω

πεπερασμένη ομάδα περιττής τάξης |G| = n

.
Δείξτε ότι η ομάδα $A_{4} \times G$ δεν έχει υποομάδα δείκτου 2.
Λύση (3): Εφόσον,

είναι περιττής τάξης, έπεται ότι είναι επιλυσιμη και επειδή η $A_{4}$ είναι επιλυσιμη, τότε θα είναι επιλυσιμη και η $A_{4} \times G$ .
Υποθέτουμε ότι $\exists H \leqslant A_{4} \times G$ με $\big[ A_{4} \times G : H \big] = 2$ , σχολιάζουμε ότι η

είναι κανονική υποομάδα στην $A_{4} \times G$ και $\big| H \big| = 6n$ .
Γνωρίζουμε ότι υπάρχει ομομορφισμος $f:A_{4} \times G \rightarrow S_{2}$ με $Ker(f) \leqslant H$ .
Ίσως να οδηγηθούμε σε άτοπο με το οτι γνωρίζουμε πως η $A_{4}$ δεν έχει κανονική υποομάδα δεικτου 2.
$\star \star \star$ Δεν έxω βρει ακόμα τη λύση, πως λύνεται $\star \star \star$

stranger · #2

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 15, 2023 3:39 pm
Έχουμε ότι $X_{G} = \Big \{ y \in X : g \cdot y = y , \forall g \in G \Big\}$ με $x \in X_{G} \Rightarrow \big| X_{G} \big| \geqslant 1$ .
Είναι $G \cdot y = \Big \{ g \in G : g \cdot y = y \Big \}$ και $\big| G \cdot y \big| \bigg| |G| = p^{n} \Rightarrow \big| G \cdot y \big| = p^{\lambda} , \lambda \in \big \{ 1 , p , p^{2} , \ldots , p^{n} \big\}$ .
Εξίσωση Κλάσεων:
$\displaystyle{m = |X| = \big| X_{G} \big| + \sum\limits_{| G \cdot y_{i} | > 1 , i=1}^{k} \big| G \cdot y_{i} \big| \geqslant 1 + \sum\limits_{\lambda_{i} \geqslant 1 , i = 1}^{k} p^{\lambda_{i}} \geqslant 1 + p k > 1 + n k}$ .
$\star \star \star$ Δεν έxω βρει ακόμα τη λύση, πως λύνεται $\star \star \star$

Υπάρχουν δύο λάθη στους συλλογισμούς σου.
Το σωστό είναι να γράψεις $\lambda \in \{1,2,..,n\}$ και όχι αυτό που γράφεις.
Επίσης η εξίσωση κλάσεων είναι λάθος όπως την γράφεις.
Είναι $[G:G \cdot y_i]$ και όχι $|G \cdot y_i|$ .
Η εξίσωση των κλάσεων ουσιαστικά λέει ότι οι τροχιές της δράσης διαμερίζουν το σύνολο

.
Μετά, από το θεώρημα που λέει ότι το πλήθος της τροχιάς ενός σημείου είναι ίσος με τον δείκτη της $G \cdot y$ (όπως τη συμβολίζεις) στην

.
Θα χαρούμε αν την προσπαθήσεις παραπάνω και αν θες γράψε τι σκέφτεσαι.

Ασκησεις σε Sylow's Theorem, Εξισωση Κλασεων

Ασκησεις σε Sylow's Theorem, Εξισωση Κλασεων

Re: Ασκησεις σε Sylow's Theorem, Εξισωση Κλασεων

Μέλη σε σύνδεση