Αβελιανή ομάδα

Tolaso J Kos · #1

Θεωρούμε το σύνολο G=(-1, 1)

και τη δυαδική πράξη $G \times G \rightarrow G$ η οποία ορίζεται ως εξής

$\displaystyle{x*y=\frac{x+y}{1+xy} \quad \quad \text{\gr για κάθε}\;\; x,y \in G}$
Να δειχθεί ότι:

η είναι αβελιανή ομάδα.
$(G,*) \cong \mathbb{R}_{ > 0}$ όπου $\mathbb{R}_{ > 0}$ είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών.
για όλους τους θετικούς ακεραίους και όλα τα $x_1,x_2, \dots ,x_n \in G$ ισχύει:

$\displaystyle{x_1*x_2* \cdots * x_n=\frac{(1+x_1)(1+x_2) \cdots (1+x_n)-(1-x_1)(1-x_2) \cdots (1-x_n)}{(1+x_1)(1+x_2) \cdots (1+x_n)+(1-x_1)(1-x_2) \cdots (1-x_n)}}$
για όλους τους ακεραίους $n \geq 2$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{2}*\frac{1}{3}* \cdots * \frac{1}{n}=\frac{n^2+n-2}{n^2+n+2}}$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα Τόλη.

Σημείωση 1: Για κάθε $x,\,y\in G$ ισχύει $|x+y|<|1+x\,y|$ , γεγονός που αποδεικνύει ότι η

είναι πράξη επί του

Η προσεταιριστικότητα της

είναι πράξεις, η

είναι μεταθετική πράξη (εύκολο) και ουδέτερο στοιχείο της (G,*)

είναι το

και

κάθε στοιχείο $x\in G$ αντιστρέψιμο με $x^{-1}=-x$ .

Σημείωση 2: Η απεικόνιση $\displaystyle{f\colon (\mathbb{R}|_{>0},\cdot)\to (G,*),\,\,f(x)=\frac{1-x}{1+x}}$ είναι ο κατάλληλος ισομορφισμός.

με $\displaystyle{f^{-1}(y)=\frac{1-y}{1+y},\,y\in G.}$

Σημείωση 3: Για κάθε $n\in\mathbb{N}$ και κάθε $x_1,\,x_2,\,...,x_n\in G$ ισχύει ότι

$\begin{aligned} x_1*\,x_2*...*\,x_n*&=f(f^{-1}(x_1*\,x_2*...*x_n))\\&=f(f^{-1}(x_1)\,f^{-1}(x_2)\,...f^{-1}(x_n))\\&=f\left(\frac{1-x_1}{1+x_1}\,\frac{1-x_2}{1+x_2}\,...\frac{1-x_n}{1+x_n}\right) \end{aligned}$

και αν λάβεις υπόψιν την

βγαίνει το ζητούμενο.

Σημείωση 4 : Εφαρμογή του 3 για $\displaystyle{x_1=0,\,x_2=\frac{1}{2},\,\,x_3=\frac{1}{3},...,x_n=\frac{1}{n}.}$

Αβελιανή ομάδα

Αβελιανή ομάδα

Re: Αβελιανή ομάδα

Μέλη σε σύνδεση