Θέμα γραμμικής I (2)

M.S.Vovos · #1

Άλλη μία που μου άρεσε λιγάκι. Δεν είναι δύσκολη.

Έστω

ένας διανυσματικός χώρος υπεράνω ενός σώματος $\mathbb{K}$ . Υποθέτουμε ότι το σύνολο $\displaystyle B=\left \{ \vec{e_{1}},\ldots,\vec{e_{i}},\ldots ,\vec{e_{n}} \right \}$ είναι βάση του

.

(α) Να αποδείξετε ότι το σύνολο $\displaystyle W=\left \{ \vec{e_{1}},\ldots,\vec{e_{i}}+\lambda \vec{e_{j}},\ldots ,\vec{e_{n}} \right \}$ είναι βάση του

, για κάθε $\lambda \in \mathbb{K}$ και $i\neq j$ .

(β) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

β.i. Το σύνολο $\displaystyle P=\left \{ \vec{e_{1}}+\vec{e_{2}},\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}},\ldots ,\vec{e_{n-1}}+\vec{e_{n}},\vec{e_{n}}+\vec{e_{1}} \right \}$ είναι βάση του

.

β.ii. Το

είναι περιττός.

(γ) Έστω τα ακόλουθα διανύσματα του $\mathbb{R}^{n}$ : $\displaystyle{\vec{x_{1}}=\left ( 1,1,0,\ldots ,0 \right ), \hspace{1mm}\vec{x_{2}}=\left ( 0,1,1,0,\ldots ,0 \right ), \cdots , \hspace{1mm}\vec{x_{n}}=\left ( 1,0,\ldots ,0,1 \right )}$

Να βρείτε την διάσταση $\displaystyle \mathrm{dim}_{\mathbb{R}}\left \langle \vec{x_{1}},\ldots ,\vec{x_{n}} \right \rangle$ του υποχώρου που παράγεται από τα $\vec{x_{1}},\vec{x_{2}},\ldots,\vec{x_{n}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε: Έστω ένας διανυσματικός χώρος υπεράνω ενός σώματος $\mathbb{K}$ . Υποθέτουμε ότι το σύνολο $\displaystyle B=\left \{ \vec{e_{1}},\ldots,\vec{e_{i}},\ldots ,\vec{e_{n}} \right \}$ είναι βάση του .

(α) Να αποδείξετε ότι το σύνολο $\displaystyle W=\left \{ \vec{e_{1}},\ldots,\vec{e_{i}}+\lambda \vec{e_{j}},\ldots ,\vec{e_{n}} \right \}$ είναι βάση του , για κάθε $\lambda \in \mathbb{K}$ και $i\neq j$ .

(β) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

β.i. Το σύνολο $\displaystyle P=\left \{ \vec{e_{1}}+\vec{e_{2}},\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}},\ldots ,\vec{e_{n-1}}+\vec{e_{n}},\vec{e_{n}}+\vec{e_{1}} \right \}$ είναι βάση του .

β.ii. Το είναι περιττός.

(γ) Έστω τα ακόλουθα διανύσματα του $\mathbb{R}^{n}$ : $\displaystyle{\vec{x_{1}}=\left ( 1,1,0,\ldots ,0 \right ), \hspace{1mm}\vec{x_{2}}=\left ( 0,1,1,0,\ldots ,0 \right ), \cdots , \hspace{1mm}\vec{x_{n}}=\left ( 1,0,\ldots ,0,1 \right )}$

Να βρείτε την διάσταση $\displaystyle \mathrm{dim}_{\mathbb{R}}\left \langle \vec{x_{1}},\ldots ,\vec{x_{n}} \right \rangle$ του υποχώρου που παράγεται από τα $\vec{x_{1}},\vec{x_{2}},\ldots,\vec{x_{n}}$ .

Ξεχάστηκε. Ίσως διότι είναι πολύ απλή ενώ θέλει αρκετή πληκτρολόγηση για την αξία της. Συνοπτικά:

α) Αν $\displaystyle a_1 \vec{e_{1}}+\ldots +a_i(\vec{e_{i}}+\lambda \vec{e_{j}})+\ldots +a_n\vec{e_{n}} =0}$ τότε από την γραμμική ανεξαρτησία των $e_1, ... \, , e_n$ έπεται

a_k=0

για $k\ne i$ και $a_i + \lambda a_j=0$ . Αμέσως από την δεύτερη (αφού a_j=0

) έχουμε και a_i=0

.

β) Για άρτιο n=2m

τα διανύσματα είναι εξαρτημένα καθώς

$\displaystyle{(\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}})-(\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}) + (\vec{e_{3}}+\vec{e_{4}})-\ldots +(\vec{e_{2m-1}}+\vec{e_{2m}} ) -(\vec{e_{2m}}+\vec{e_{1}})=0}$

άρα δεν είναι βάση. Αντίστροφα, για n=2m-1

. Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα είναι 2m-1

(όσο η διάσταση) το πλήθος και η γραμμική θήκη τους περιέχει τα $\displaystyle{\vec{e_{1}}, \ldots \vec{e_{2m-1}}}$ καθώς

$\displaystyle{\vec{e_{1}} = \frac {1}{2}\left [ \vec{e_{1}}+\vec{e_{2}})-(\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}) + (\vec{e_{3}}+\vec{e_{4}})-\ldots +(\vec{e_{2m-1}}+\vec{e_{1}}) \right ] }$

και όμοια τα υπόλοιπα. Έπεται ότι τα διανύσματα παράγουν τον χώρο και άρα ότι είναι ανεξάρτητα (αλλιώς ο χώρος θα είχε διάσταση μικρότερη από 2m-1

). Άρα είναι βάση.

γ) Το γ) είναι ουσιαστικά αναδιατύπωση του β) και οι λεπτομέρειες που χρειάζονται για την ολοκλήρωση της λύσης είναι απλές.

Θέμα γραμμικής I (2)

Θέμα γραμμικής I (2)

Re: Θέμα γραμμικής I (2)

Μέλη σε σύνδεση