Ασκήσεις Άλγεβρας

stranger · #1

1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

2) Έστω τα ιδεώδη

και

ενός δακτυλίου.
Δείξτε $I \cdot J \subseteq I \cap J$ . Ισχύει πάντα η ισότητα;

stranger · #2

3) Έστω μια ακέραια περιοχή

ώστε κάθε γνησίως φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της είναι πεπερασμένη.
Δείξτε ότι το

είναι σώμα.
Αποφανθείτε ότι κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα.

stranger · #3

4) Ταξινομήστε όλες τις ομάδες τάξης p^2

(ως προς ισομορφισμό), όπου

πρώτος.

Tolaso J Kos · #4

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:51 pm
3) Έστω μια ακέραια περιοχή ώστε κάθε γνησίως φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της είναι πεπερασμένη.
Δείξτε ότι το είναι σώμα.
Αποφανθείτε ότι κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα.

Μία προσπάθεια ... αν είναι λάθος σχωρέστε με ...!

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. Υποθέτουμε ότι υπάρχει $\alpha \in \mathcal{R}$ το οποίο δεν είναι αντιστρέψιμο. Προφανώς,

$\displaystyle{\langle \alpha \rangle \supset \langle \alpha^2 \rangle \supset \cdots \supset\langle \alpha^n \rangle}$
όπου το $\langle \alpha^n \rangle$ είναι το τελευταίο ιδεώδες στην αλυσίδα. Τώρα, το $\langle \alpha^{n+1} \rangle$ θα πρέπει να είναι ίσο με ένα από τα $\langle \alpha^i \rangle$ όπου $1 \leq i \leq n$ . Από την άλλη όμως $\langle \alpha^n \rangle \supseteq \langle \alpha^{n+1} \rangle$ και $\langle \alpha^i \rangle \supset \langle \alpha^n \rangle$ . Άρα, $\langle \alpha^j \rangle =\langle \alpha^n \rangle$ για κάθε $j \geq n$ . Αν το $\alpha$ δεν είναι μονάδα (unit) τότε $\langle \alpha^{n+1} \rangle \neq \langle \alpha^n \rangle$ επειδή $\alpha^n \in \langle \alpha^{n+1} \rangle$ , δηλ. $\alpha^n = \kappa \alpha^{n+1}$ για κάποιο $\kappa \in \mathcal{R}$ . Τότε, η $\alpha^n(1 - \kappa \alpha ) = 0$ συνεπάγεται ότι $1 = \kappa \alpha$ , το οποίο αντιβαίνει στο γεγονός ότι το $\alpha$ είναι μονάδα.

Ελπίζω να 'μαι σωστός!

stranger · #5

Είσαι σωστός!

BAGGP93 · #6

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm

2) Έστω τα ιδεώδη και ενός δακτυλίου.
Δείξτε $I \cdot J \subseteq I \cap J$ . Ισχύει πάντα η ισότητα;

Καλημέρα. Λογικά, εννοείς, αμφίπλευρα ιδεώδη, οπότε δουλεύω με αυτά. Έστω το τυχόν $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^k x_i\,y_i\in I\cdot J}$ , όπου $x_i\in I\,,y_i\in J\,,i=1,...,k$ . Για κάθε

ισχύει ότι $x_i\,y_i\in I$ και ταυτόχρονα $x_i\,y_i\in J$ (αφού $I\,,J$ ιδεώδη), άρα $x_i\,y_i\in I\cap J$ και επειδή $I\cap J$ υποομάδα του δακτυλίου με την πρόσθεση, παίρνουμε ότι $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^k x_i\,y_i\in I\cap J}$
Συνεπώς, $I\cdot J\subseteq I\cap J$ .

Δεν ισχύει πάντα η ισότητα: Πάμε στον αγαπημένο δακτύλιο $\mathbb{Z}$ των ακέραιων αριθμών. Θέτουμε $I=4\,\mathbb{Z}\,,J=6\,\mathbb{Z}$ . Ως γνωστόν, $I\cdot J=4\,\mathb{Z}\cdot 6\,\mathbb{Z}=24\,\mathbb{Z}$ ενώ $I\cap J=4\,\mathbb{Z}\cap 6\,\mathbb{Z}=[4,6]\,\mathbb{Z}=12\,\mathbb{Z}$
και προφανώς $12\in I\cap J$ ενώ $12\notin I\cdot J$ .

stranger · #7

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 10, 2020 3:57 pm
4) Ταξινομήστε όλες τις ομάδες τάξης (ως προς ισομορφισμό), όπου πρώτος.

Υπόδειξη:
Δείξτε πρώτα ότι οι ομάδες αυτές είναι αβελιανές και μετά χρησιμοποιείστε γνωστό θεώρημα.

tractatus · #8

αλλάζει κάτι αν τα ιδεώδη είναι πρώτα ? (ασκ 2)

stranger · #9

tractatus έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 1:21 pm
αλλάζει κάτι αν τα ιδεώδη είναι πρώτα ? (ασκ 2)

Όχι δεν αλλάζει κάτι. Θεώρησε τα ιδεώδη $I=J=3 \mathbb{Z}$ στον δακτύλιο $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ .
Τότε τα I,J

είναι πρώτα, όμως $I \cdot J = 9 \mathbb{Z}$ και $I \cap J = 3 \mathbb{Z}$ , άρα πάλι έχουμε $I \cdot J \neq I \cap J$ .

stranger · #10

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τα θεωρήματα Sylow. $35=5 \cdot 7$ .
Αυτή είναι η πιο δύσκολη από τις τέσσερις.

stranger · #11

5) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός

, ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μη ισομορφες ομάδες τάξης

;

BAGGP93 · #12

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

Έστω ομάδα

με $|G|=35=5\cdot 7$ . Για το πλήθος n_5

των

-Sylow υποομάδων της

ισχύει

και

, οπότε

, δηλαδή η

έχει μοναδική υποομάδα τάξης

, έστω

. Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της

τάξης

, έστω

. Συνεπώς, $H\cap K=\left\{e\right\}$ . Μάλιστα $H\cong \mathbb{Z}_{5}\,\,,K\cong \mathbb{Z}_{7}$ . Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε $x\in H\,,y\in K$ ισχύει $x\,y=y\,x$ . Πράγματι, $x\,y(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in H\cap K$ (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι $H\,,K$ κανονικές στη

), άρα $x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x$ , όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση $\displaystyle{f:H\times K\to G\,,f(x,y)=x\,y}$ η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού $f((x,y),(x',y'))=f(x\,x',y\,y;)=x\,x'\,y\,y'=x\,y\,x'\,y'=f(x,y)\,f(x',y')$ για κάθε $x\,,x'\in H\,,y\,,y'\in K$ . Είναι μονομορφισμός διότι αν $(x,y)\in H\times K$ με f(x,y)=e

, τότε $x\,y=e\implies x=y^{-1}\implies x\in H\cap K\implies x=e\implies y=e\implies (x,y)=(e,e)=e_{H\times K}$
Επιπλέον $|H\times K|=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=35=|G|$ , οπότε η

είναι και επί της

. Τελικά,

ισομορφισμός και συνεπώς $\displaystyle{G\cong H\times K\cong \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{7}\stackrel{(5,7)=1}{\cong}\mathbb{Z}_{35}}$

stranger · #13

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pm

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

Έστω ομάδα με $|G|=35=5\cdot 7$ . Για το πλήθος των -Sylow υποομάδων της ισχύει και , οπότε , δηλαδή η έχει μοναδική υποομάδα τάξης , έστω . Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της τάξης , έστω . Συνεπώς, $H\cap K=\left\{e\right\}$ . Μάλιστα $H\cong \mathbb{Z}_{5}\,\,,K\cong \mathbb{Z}_{7}$ . Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε $x\in H\,,y\in K$ ισχύει $x\,y=y\,x$ . Πράγματι, $x\,y(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in H\cap K$ (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι $H\,,K$ κανονικές στη ), άρα $x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x$ , όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση $\displaystyle{f:H\times K\to G\,,f(x,y)=x\,y}$ η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού $f((x,y),(x',y'))=f(x\,x',y\,y;)=x\,x'\,y\,y'=x\,y\,x'\,y'=f(x,y)\,f(x',y')$ για κάθε $x\,,x'\in H\,,y\,,y'\in K$ . Είναι μονομορφισμός διότι αν $(x,y)\in H\times K$ με , τότε $x\,y=e\implies x=y^{-1}\implies x\in H\cap K\implies x=e\implies y=e\implies (x,y)=(e,e)=e_{H\times K}$
Επιπλέον $|H\times K|=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=35=|G|$ , οπότε η είναι και επί της . Τελικά, ισομορφισμός και συνεπώς $\displaystyle{G\cong H\times K\cong \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{7}\stackrel{(5,7)=1}{\cong}\mathbb{Z}_{35}}$

Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.
Λέμε ότι A= <a>

και

οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι G=<ab>

. Βλέπουμε εύκολα ότι τα ab=ba

. Άρα $(ab)^7 \neq 1$ και $(ab)^5 \neq 1$ ,άρα τελικά η τάξη του

είναι 35.

BAGGP93 · #14

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:39 pm

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pm

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

Έστω ομάδα με $|G|=35=5\cdot 7$ . Για το πλήθος των -Sylow υποομάδων της ισχύει και , οπότε , δηλαδή η έχει μοναδική υποομάδα τάξης , έστω . Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της τάξης , έστω . Συνεπώς, $H\cap K=\left\{e\right\}$ . Μάλιστα $H\cong \mathbb{Z}_{5}\,\,,K\cong \mathbb{Z}_{7}$ . Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε $x\in H\,,y\in K$ ισχύει $x\,y=y\,x$ . Πράγματι, $x\,y(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in H\cap K$ (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι $H\,,K$ κανονικές στη ), άρα $x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x$ , όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση $\displaystyle{f:H\times K\to G\,,f(x,y)=x\,y}$ η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού $f((x,y),(x',y'))=f(x\,x',y\,y;)=x\,x'\,y\,y'=x\,y\,x'\,y'=f(x,y)\,f(x',y')$ για κάθε $x\,,x'\in H\,,y\,,y'\in K$ . Είναι μονομορφισμός διότι αν $(x,y)\in H\times K$ με , τότε $x\,y=e\implies x=y^{-1}\implies x\in H\cap K\implies x=e\implies y=e\implies (x,y)=(e,e)=e_{H\times K}$
Επιπλέον $|H\times K|=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=35=|G|$ , οπότε η είναι και επί της . Τελικά, ισομορφισμός και συνεπώς $\displaystyle{G\cong H\times K\cong \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{7}\stackrel{(5,7)=1}{\cong}\mathbb{Z}_{35}}$
Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.
Λέμε ότι και οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι . Βλέπουμε εύκολα ότι τα . Άρα $(ab)^7 \neq 1$ και $(ab)^5 \neq 1$ ,άρα τελικά η τάξη του είναι 35.

Ωραίο. Πιο άμεσο.

stranger · #15

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:39 pm
Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.
Λέμε ότι και οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι . Βλέπουμε εύκολα ότι τα . Άρα $(ab)^7 \neq 1$ και $(ab)^5 \neq 1$ ,άρα τελικά η τάξη του είναι 35.

Μπορούμε και πιο εύκολα να το αποδείξουμε. Έχουμε ότι για κάθε διαιρέτη

του 35 υπάρχει μοναδική υποομάδα τάξης

.
Άρα η ομάδα είναι κυκλική.

stranger · #16

6) Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου

- προτύπου είναι ελεύθερο

-πρότυπο.
Δείξτε ότι o

είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 3:14 pm
5) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός , ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μη ισομορφες ομάδες τάξης ;

Τετριμμένο είναι.
Δηλαδή κάποιος που γνωρίζει την σχετική θεωρία του είναι εντελώς άμεσο.
Αν κάποιος δεν γνωρίζει την θεωρία τότε πρέπει να κάνει την ταξινόμηση των ομάδων μέχρι τάξη

Το

.
Οι τουλάχιστον τρεις είναι $\mathbb{Z}_{8},\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}$
Θεωρώ περιττό να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδική ομάδα με 2,3,5,7

στοιχεία και δύο ομάδες με 4,6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #18

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τα θεωρήματα Sylow. $35=5 \cdot 7$ .
Αυτή είναι η πιο δύσκολη από τις τέσσερις.

Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολη.
Και σίγουρα υπάρχει σε παρόμοια μορφή σε όλα τα βιβλία θεωρίας ομάδων.
Το γενικό είναι

Αν p<q

πρώτοι και

ομάδα με

τότε
i)Αν p/(q-1)

υπάρχουν δύο ομάδες μια κυκλική και μία μη αβελιανή
ii)Αν δεν ισχύει η p/(q-1)

υπάρχει μοναδική ομάδα που είναι κυκλική

Με συγκεκριμένα νούμερα όπως εδώ η απόδειξη είναι τελείως στοιχειώδη.
Συγκεκριμένα.
Αν η ομάδα έχει στοιχείο τάξης

τελειώσαμε.
Εχει στοιχείο τάξης

και στοιχείο τάξης

Δεν χρειάζεται Sylow.Απλό μέτρημα.
Αν π.χ όλα τα στοιχεία είχαν τάξη

τότε οι ομάδα θα αποτελείτο από

υποομάδες
τάξης

.
Θα ήταν 35=5k-(k-1)

κλπ ΑΤΟΠΟ.

Εστω $b\in G,b^{7}=1,H=<b>$
Η

είναι κανονική γιατί απο τον τύπο του μετρήματος για υποομάδες
είναι
$|H\cap x^{-1}Hx|.|H.( x^{-1}Hx)|=|H| |x^{-1}Hx|$
Εστω στοιχείο

τάξης

Θα είναι
$a^{-1}ba=b^{r}$
και
$a^{-1}b^{r}a=b^{r^{2}},a^{-2}ba^{2}=b^{r^{2}},....,a^{-5}ba^{5}=b^{r^{5}}$
προκύπτει ότι $7/r^{5}-1$
οπότε r=1

Αρα

και είναι άμεσο ότι η ομάδα είναι κυκλική.

BAGGP93 · #19

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 12, 2020 4:44 pm
6) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου - προτύπου είναι ελεύθερο -πρότυπο.
Δείξτε ότι o είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

Κάποια υπόδειξη ;

stranger · #20

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 12, 2020 9:55 pm

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 12, 2020 4:44 pm
6) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου - προτύπου είναι ελεύθερο -πρότυπο.
Δείξτε ότι o είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Κάποια υπόδειξη ;

Υπόδειξη: Ο

είναι

-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό το γινόμενο στον

.

Ασκήσεις Άλγεβρας

Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση