Τετριμμένο Κέντρο

abfx · #1

Έστω

ένα σύνολο με περισσότερα από

στοιχεία.

Να δείξετε ότι η ομάδα Sym(X)

των μεταθέσεων του

έχει τετριμμένο κέντρο.

BAGGP93 · #2

Καλημέρα.

Νομίζω μπορείς να βρεις τη λύση σε κάθε βιβλίο βασικής άλγεβρας. Για παράδειγμα, δες το βιβλίο του Fraleigh.

abfx · #3

Καλησπέρα.

Έχω πετύχει στη βιβλιογραφία την περίπτωση που το

είναι πεπερασμένο. Για τυχόν

όμως, δεν είχα βρει κάτι. Για αυτό και το έθεσα ως άσκηση.

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2023 10:17 am
Για παράδειγμα, δες το βιβλίο του Fraleigh.

Θα με ενδιέφερε η σελίδα στην οποία υπάρχει η εν λόγω λύση.

Ευχαριστώ.

BAGGP93 · #4

Σου προτείνω αυτήν την pdfάρα, ψάξε εκεί.

http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraBook.pdf

abfx · #5

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2023 9:50 pm
Σου προτείνω αυτήν την pdfάρα, ψάξε εκεί.

Πράγματι, θησαυρός το βιβλίο του κυρίου Μπεληγιάννη.

Μετά από αναζήτηση, το μόνο σχετικό που βρήκα εκεί είναι η άσκηση 5.6.31 στην σελίδα 279. Πρόκειται για την ειδική περίπτωση όπου η ομάδα μεταθέσεων είναι η S_n

. Δεν καλύπτεται δηλαδή η γενική περίπτωση όπου το

είναι ενδεχομένως άπειρο σύνολο.

Θα σας παρακαλούσα λοιπόν να παραθέσετε συγκεκριμένη αναφορά (με σελίδα), σε αυτό ή και σε άλλο βιβλίο, όπου υπάρχει η γενική περίπτωση. Αν αυτό δεν είναι εφικτό, παρακαλώ για τη λύση που έχετε κατά νου.

Ευχαριστώ.

giannispapav · #6

Έστω $a\in Z(\mathrm{Sym}(X))$ με $a\not=1$ . Τότε υπάρχουν $i\not=k\in X$ έτσι ώστε a(i)=k

. Έστω $j\in X$ με $j\not=i,k$ (υπάρχει αφού $|X|\ge 3$ ) και η μετάθεση $b=(k\ j)$ . Τότε έχουμε: ab(i)=a(i)=k

και $ba(i)=b(k)=j\not=k$ . Αυτό σημαίνει ότι $ab\not=ba$ , το οποίο είναι άτοπο αφού $a\in Z(\mathrm{Sym}(X))$ , οπότε $Z(\mathrm{Sym}(X))=\{1\}$ .

stranger · #7

giannispapav έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 30, 2023 6:14 am
Έστω $a\in Z(\mathrm{Sym}(X))$ με $a\not=1$ . Τότε υπάρχουν $i\not=k\in X$ έτσι ώστε . Έστω $j\in X$ με $j\not=i,k$ (υπάρχει αφού $|X|\ge 3$ ) και η μετάθεση $b=(k\ j)$ . Τότε έχουμε: και $ba(i)=b(k)=j\not=k$ . Αυτό σημαίνει ότι $ab\not=ba$ , το οποίο είναι άτοπο αφού $a\in Z(\mathrm{Sym}(X))$ , οπότε $\mathrm{Sym}(X)=\{1\}$ .

Πολύ καλό και σύντομο.

Τετριμμένο Κέντρο

Τετριμμένο Κέντρο

Re: Τετριμμένο Κέντρο

Re: Τετριμμένο Κέντρο

Re: Τετριμμένο Κέντρο

Re: Τετριμμένο Κέντρο

Re: Τετριμμένο Κέντρο

Re: Τετριμμένο Κέντρο

Μέλη σε σύνδεση