Εκθετικός πίνακας

Tolaso J Kos · #1

Άσκηση 1: Έστω

πίνακας τέτοιος ώστε $A^2 = \mathbb{I}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{2e^A = \left ( e + \frac{1}{e} \right ) \mathbb{I} + \left ( e - \frac{1}{e} \right ) A}$
Άσκηση 2: Έστω

πίνακας τέτοιος ώστε $A^2 = \mathbb{O}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{e^A = \mathbb{I} + A}$
Άς αφήσουμε μία - δύο μέρες για τους φοιτητές.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 18, 2019 8:02 pm
Άσκηση 1: Έστω πίνακας τέτοιος ώστε $A^2 = \mathbb{I}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{2e^A = \left ( e + \frac{1}{e} \right ) \mathbb{I} + \left ( e - \frac{1}{e} \right ) A}$
Άσκηση 2: Έστω πίνακας τέτοιος ώστε $A^2 = \mathbb{O}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{e^A = \mathbb{I} + A}$

Για να κλείνει, αν και ουσιαστικά είναι τετριμμένο θέμα.

α) Επαγωγικά $A^{2n}= \mathbb{I}, A^{2n+1}=A$ . Μαζεύοντας τώρα άρτιους και, χωριστά, περιττούς εκθέτες έχουμε (από τον ορισμό)

$\displaystyle{e^A= \sum \frac {1}{n!} A^n= \left ( \sum \frac {1}{(2n)!} \right ) \mathbb{I} + \left ( \sum \frac {1}{(2n+1)!} \right ) A = \left ( \frac {e+e^{-1}}{2} \right ) \mathbb{I} + \left ( \frac {e-e^{-1}}{2} \right ) A}$

β) Άμεσο από τον ορισμό, $\displaystyle{e^A= \sum \frac {1}{n!} A^n}$ , όπου μηδενίζονται οι όροι από τον τρίτο και πέρα.

Εκθετικός πίνακας

Εκθετικός πίνακας

Re: Εκθετικός πίνακας

Μέλη σε σύνδεση