Πολυώνυμο (Κριτήριο αναγωγισιμότητας) 1 - Δ3.36;

#1

Έστω πολυώνυμο

με ακέραιους συντελεστές και ρίζες τις $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ και έστω $M=\displaystyle\max_{1\leq i\leq n}|a_{i}|$ . Αν το $f(x_{0})$ είναι πρώτος για κάποιον ακέραιο $x_{0}$ τέθοιο νώστε $|x_{0}|>M+1$ , τότε το

δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

#2

Έστω οτι το πολυώνυμο f μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δυο πολυωνύμων ( μη σταθερών ) με ακέραιους συντελεστές, ας είναι αυτά p(x), g(x),βαθμών m , l αντιστοίχως, όπου m+l=n.Τότε θα ισχύει και ότι: f(x)=p(x)g(x) . Λαμβάνοντας μέτρα και στα δύο μέλη, προκύπτει : |f(x)|= |p(x)||g(x)|.

Θέτοντας όπου χ το x0 λαμβάνουμε: |f(x0)|=|p(x0| |g(x0)| (1).
όμως το f(x0) είναι πρώτος , αρα κάποιος απο τους δύο παράγοντες στο δεύτερο μέλος της (1) είναι το 1 και κάποιος |f(x0)|.
Yποθέτουμε πως : |p(x0)|=1 (2).

Eπιπλέον κάποιες απο τις ρίζες του αρχικού πολυωνύμου ( πάλι χωρίς βλάβη θα υποθέσουμε πως είναι οι m πρώτες απο τις n συνολικά ) θα είναι και ρίζες του p(x).

Tότε $\displaystyle{\displaystyle p(x) = k\left( {x - a_1 } \right)\left( {x - a_2 } \right)....\left( {x - a_m } \right) \Rightarrow |p(x)| = |k||\left( {x - a_1 } \right)||\left( {x - a_2 } \right)|....|\left( {x - a_m } \right)| }$ , όπου k ακέραιος,διάφορετικός το μηδενός, ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του p(x). Τότε :
$\displaystyle{\displaystyle |p(x_0 )| = |k||\left( {x_0 - a_1 } \right)||\left( {x_0 - a_2 } \right)|....|\left( {x_0 - a_m } \right)| }$ , για x=x0.
Όμως: $\displaystyle{\displaystyle |k| \geqslant 1 }$ απο τη στιγμή που k ακέραιος και οχι μηδέν και επιπλέον:

$\displaystyle{\displaystyle |x_0 - a_i | \geqslant |x_0 | - |a_i | > M + 1 - M = 1,i = 1,2,...m }$ (αφού $\displaystyle{\displaystyle |a_i | \leqslant M \Leftrightarrow - |a_i | \geqslant - M,i = 1,2,...m }$ και |x0|> M+1 ). Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη (όλα θετικα) τις παραπάνω ανισότητες, συμπεραίνουμε πως:
|p(x0)| >1 .

ATOΠΟ, λόγω της σχέσης (2) ( προκύπτει πως 1>1 ).
Αρα το πολυώνυμο f δε μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πολυωνύμων με συντελεστές ακεραίους.
Καλημέρα σας.

#3

Γειά σας
Η παρακάτω αντιμετώπιση προέκυψε προσπαθώντας να καταλάβω πως δουλεύει η άσκηση. Είχε προηγηθεί η λύση του Χρήστου Κυριαζή αλλά και μία βραχύβια νύξη του Μιχάλη Λάμπρου ότι αυτή η λυση, μάλλον, μπορεί να απλουστευθεί. Είχα την εντύπωση ότι χρειάζεται το x_0

να είναι "αρκετά έξω" από τον "μικρότερο" κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων που περιέχει όλες τις ρίζες του

. Αρκεί όμως το x_0

να είναι "αρκετά μακριά" από τις ρίζες του του

.

Μπορούμε να έχουμε μία ελαφρώς πιό γενική εκφώνηση από την αρχική του Αναστάση:

'Εστω $f \in \mathbb{Z}[ x]$ και $x_{0}\in Z$ ώστε
$\bullet$ $\left\vert x_{0}-\alpha \right\vert >1$ για κάθε ρίζα $\alpha$ του

$\bullet$ Ο $f\left( x_{0}\right)$ είναι πρώτος
τότε το

είναι ανάγωγο.

Ας δεχθούμε ότι το

δεν είναι ανάγωγο και f=gh

είναι μία μη τετριμμένη παραγοντοποίηση του στο $\mathbb{Z}[ x]$ . Θα είναι $g\left( x\right) =m\prod\limits_{i=1}^{r}\left( x-\alpha _{i}\right) \left( x-\overline{\alpha }_{i}\right)$ όπου $m\in \mathbb{Z}$ και $\alpha _{i}$ ρίζες του

. Τότε $\left\vert g\left( x_{0}\right) \right\vert =\left\vert m\right\vert \prod\limits_{i=1}^{r}\left\vert x-\alpha _{i}\right\vert ^{2}>1$ . 'Ομοια $\left\vert h\left( x_{0}\right) \right\vert >1$ . Επομένως $f\left( x_{0}\right) = g\left( x_{0}\right) h\left( x_{0}\right)$ με τους ακεραίους $g\left( x_{0}\right) ,~h\left( x_{0}\right)$ να είναι διάφοροι των $0,\pm 1$ και επομένως το $f\left( x_{0}\right)$ είναι σύνθετος (άτοπο).

Η περίπτωση της εκφώνησης του Αναστάση είναι κάπως ειδικότερη αφού (εδώ μπαίνει ένα από τα επιχειρήματα του Χρήστου)
$\left\vert x_{0}-\alpha _{i}\right\vert \geq \left\vert \left\vert x_{0}\right\vert -\left\vert \alpha _{i}\right\vert \right\vert =\left\vert x_{0}\right\vert -\left\vert \alpha _{i}\right\vert >M+1-M=1$
Μαυρογιάννης

Πολυώνυμο (Κριτήριο αναγωγισιμότητας) 1 - Δ3.36;

Πολυώνυμο (Κριτήριο αναγωγισιμότητας) 1 - Δ3.36;

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο (Κριτήριο αναγωγισιμότητας) 1

Μέλη σε σύνδεση