Xαρακτηριστικό πολυώνυμο

pito · #1

Καλησπέρα

Να βρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα

$A=\begin{pmatrix} 0&a&a&...&a\\b&0&a&...&a\\b&b&0&...&a\\.........\\........\\b&b&b&...&0\end{pmatrix}$ , όπου $A\in F^{\nu x\nu }, a\neq b$

Ευχαριστώ.

#2

Έστω

ρίζα του πολυωνύμου X^n - b/a = 0

. Ισχυρίζομαι ότι το $v_z = (z,z^2,\ldots,z^{n})^Τ$ είναι ιδιοδιάνυσμα του

με ιδιοτιμή $\displaystyle{ \frac{b-az}{z-1}.}$

Πράγματι έχουμε

$\displaystyle{ (Av_z)_k = \sum_{i=1}^{k-1} bz^i + \sum_{i=k+1}^n az^i = z^k\left(\sum_{i=1}^{k-1} bz^{i-k} + \sum_{i=k+1}^n az^{i-k} \right)}$

$\displaystyle{ = z^k \left( \sum_{i=1}^{k-1}az^{n+i-k} + \sum_{i=1}^{n-k}az^i\right) = z^k\sum_{i=1}^{n-1}az^i}$

$\displaystyle{ = z^k a \frac{z^n - z}{z-1} = z^k \frac{b-az}{z-1}.}$

Τέλος επειδή $a\neq b$ για $z \neq z'$ έχουμε $\displaystyle{ \frac{b-az}{z-1} \neq \frac{b-az'}{z'-1}}$ (απλός έλεγχος) έχουμε βρει όλες τις ιδιοτιμές του

. Άρα

$\displaystyle{ \chi_A(x) = \prod_{\{z:z^n = b/a\}}\left(x - \frac{b-az}{z-1} \right).}$

[Ή αν προτιμάτε (-1)^n

επί το πιο πάνω αν πάρουμε ως ορισμό το $\chi_A(x) = \det(A - xI)$ .]

jimK · #3

Πως σκεφτήκαμε την παραπάνω απάντηση;

#4

Αν υποθέσουμε ότι το $(x_1,\ldots,x_n)$ είναι ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή

τότε παίρνουμε

$\displaystyle{ a(x_2 + \cdots + x_n) = kx_1 \quad (1)}$
$\displaystyle{ bx_1 + a(x_3 + \cdots + x_n) = kx_2 \quad (2) }$
$\displaystyle{ b(x_1 + x_2) + a(x_4 + \cdots + x_n) = kx_3 \quad (3) }$
κ.τ.λ.

Οι (1) και (2) δίνουν (b+k)x_1 = (a+k)x_2

.
Οι (2) και (3) δίνουν (b+k)x_2 = (a+k)x_3

Οπότε

. Υποψιαζόμαστε ότι τα $x_1,x_2,\ldots$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Τα υπόλοιπα πλέον είναι απλή άλγεβρα προς επιβεβαίωση.

Xαρακτηριστικό πολυώνυμο

Xαρακτηριστικό πολυώνυμο

Re: Xαρακτηριστικό πολυώνυμο

Re: Xαρακτηριστικό πολυώνυμο

Re: Xαρακτηριστικό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση