Τι συμβολίζει το G' ;

Συντονιστής: Demetres

Ειρήνη 33
Δημοσιεύσεις: 267
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 11, 2014 12:43 am

Τι συμβολίζει το G' ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ειρήνη 33 » Κυρ Απρ 03, 2016 12:30 pm

Χαίρετε.

Βρήκα την εξής άσκηση:

Έστω N\trianglelefteq G με N\cap G'=1. Δείξτε ότι N\leq Z(G).


Τι συμβολίζει το G' ; Ή είναι τυπογραφικό λάθος και πρέπει να είναι G ;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 03, 2016 12:42 pm

Δεν είναι τυπογραφικό.Συμβολίζει την παράγωγο ομάδα (derived group η commutator subgroup)
Δες στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator_subgroup


Ειρήνη 33
Δημοσιεύσεις: 267
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 11, 2014 12:43 am

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ειρήνη 33 » Κυρ Απρ 03, 2016 1:28 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν είναι τυπογραφικό.Συμβολίζει την παράγωγο ομάδα (derived group η commutator subgroup)
Δες στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator_subgroup


Α εντάξει, κατάλαβα!

Αφού N\trianglelefteq G, έχουμε ότι gNg^{-1}=N, \forall g\in G.
Έχουμε ότι G'=\langle [g,h]\mid g,h\in G\rangle =\langle ghg^{-1}h^{-1} \mid g,h\in G\rangle.
Αφού N\cap G'=1, ισχύει ότι μόνο το στοιχείο n=1 ικανοποιεί τις συνθήκες: n\in N \land n\in G' \Rightarrow n\in N \land n=ghg^{-1}h^{-1}, g,h\in G.

Για να δείξουμε ότι N\leq Z(G), πρέπει να δείξουμε ότι \forall n\in N \Rightarrow n\in Z(G)=\{g\in G\mid ga=ag, \forall a\in G\}.

Από την σχέση gNg^{-1}=N έχουμε ότι gng^{-1}=\tilde{n}\in N, \forall g\in G \Rightarrow gn=\tilde{n}g, \forall g\in G.
Οπότε πρέπει να δείξουμε ότι \tilde{n}=n, ή όχι;
Αλλά πώς;


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Απρ 03, 2016 3:30 pm

Γεια χαρά.

Έστω \displaystyle{x\in N} . Θα δείξουμε ότι \displaystyle{x\in Z(G)} , δηλαδή, ότι \displaystyle{x\,y=y\,x\,,\forall\,y\in G} .

Προς τούτο, έστω \displaystyle{y\in G} . Έχουμε ότι \displaystyle{x\,y\,(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}} . Άρα, εξ ορισμού της \displaystyle{G'}

ισχύει ότι \displaystyle{x\,y\,(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in G'} . Απ' την άλλη, \displaystyle{y\,x^{-1}\,y^{-1}\in N} διότι

\displaystyle{y\in G\,,x^{-1}\in N} και \displaystyle{N\trianglelefteq G} , οπότε \displaystyle{(x\,y)\,(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in N} (αφού \displaystyle{x\in N\,\,,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in N} ).

Τελικά, \displaystyle{(x\,y)\,(y\,x)^{-1}\in N\cap G'=\left\{e\right\}\implies x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x} , όπως θέλαμε.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Ειρήνη 33
Δημοσιεύσεις: 267
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 11, 2014 12:43 am

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ειρήνη 33 » Δευ Απρ 04, 2016 12:41 pm

Κατάλαβα! Ευχαριστώ πολύ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες