Τι συμβολίζει το G' ;

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Βρήκα την εξής άσκηση:

Έστω $N\trianglelefteq G$ με $N\cap G'=1$ . Δείξτε ότι $N\leq Z(G)$ .

Τι συμβολίζει το

; Ή είναι τυπογραφικό λάθος και πρέπει να είναι

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Δεν είναι τυπογραφικό.Συμβολίζει την παράγωγο ομάδα (derived group η commutator subgroup)
Δες στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator_subgroup

Ειρήνη 33 · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν είναι τυπογραφικό.Συμβολίζει την παράγωγο ομάδα (derived group η commutator subgroup)
Δες στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator_subgroup

Α εντάξει, κατάλαβα!

Αφού $N\trianglelefteq G$ , έχουμε ότι $gNg^{-1}=N, \forall g\in G$ .
Έχουμε ότι $G'=\langle [g,h]\mid g,h\in G\rangle =\langle ghg^{-1}h^{-1} \mid g,h\in G\rangle$ .
Αφού $N\cap G'=1$ , ισχύει ότι μόνο το στοιχείο n=1

ικανοποιεί τις συνθήκες: $n\in N \land n\in G' \Rightarrow n\in N \land n=ghg^{-1}h^{-1}, g,h\in G$ .

Για να δείξουμε ότι $N\leq Z(G)$ , πρέπει να δείξουμε ότι $\forall n\in N \Rightarrow n\in Z(G)=\{g\in G\mid ga=ag, \forall a\in G\}$ .

Από την σχέση $gNg^{-1}=N$ έχουμε ότι $gng^{-1}=\tilde{n}\in N, \forall g\in G \Rightarrow gn=\tilde{n}g, \forall g\in G$ .
Οπότε πρέπει να δείξουμε ότι $\tilde{n}=n$ , ή όχι;
Αλλά πώς;

BAGGP93 · #4

Γεια χαρά.

Έστω $\displaystyle{x\in N}$ . Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{x\in Z(G)}$ , δηλαδή, ότι $\displaystyle{x\,y=y\,x\,,\forall\,y\in G}$ .

Προς τούτο, έστω $\displaystyle{y\in G}$ . Έχουμε ότι $\displaystyle{x\,y\,(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}}$ . Άρα, εξ ορισμού της $\displaystyle{G'}$

ισχύει ότι $\displaystyle{x\,y\,(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in G'}$ . Απ' την άλλη, $\displaystyle{y\,x^{-1}\,y^{-1}\in N}$ διότι

$\displaystyle{y\in G\,,x^{-1}\in N}$ και $\displaystyle{N\trianglelefteq G}$ , οπότε $\displaystyle{(x\,y)\,(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in N}$ (αφού $\displaystyle{x\in N\,\,,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in N}$ ).

Τελικά, $\displaystyle{(x\,y)\,(y\,x)^{-1}\in N\cap G'=\left\{e\right\}\implies x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x}$ , όπως θέλαμε.

Ειρήνη 33 · #5

Κατάλαβα! Ευχαριστώ πολύ!

Τι συμβολίζει το G' ;

Τι συμβολίζει το G' ;

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

Re: Τι συμβολίζει το G' ;

Μέλη σε σύνδεση