Πρώτο ιδεώδες

Συντονιστής: Demetres

Ειρήνη 33
Δημοσιεύσεις: 267
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 11, 2014 12:43 am

Πρώτο ιδεώδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ειρήνη 33 » Σάβ Απρ 16, 2016 6:57 pm

Χαίρετε.

Για να δείξουμε ότι το ιδεώδες (x) είναι πρώτο ιδεώδες του \mathbb{Q}[x,y] πρέπει να δείξουμε ότι το \mathbb{Q}[x,y]/(x) είναι ακέραια περιοχή, σωστά;

Πώς μπορούμε να το δείξουμε αυτό;


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1352
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Πρώτο ιδεώδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Απρ 16, 2016 11:04 pm

Μπορείς να το δεις με 2 τρόπους.

1. Το πολυώνυμο \displaystyle{x} είναι ανάγωγο στον δακτύλιο \displaystyle{\mathbb{Q}[x,y]} .

Αν θες απόδειξη για αυτό, τότε υπάρχει η ακόλουθη (που αποδεικνύει και το 1 και αυτό που ρωτάς)

2.

Ορίζουμε απεικόνιση \displaystyle{\Phi:\mathbb{Q}[x,y]\to \mathbb{Q}[y]\,\,,f(x,y)\mapsto f(0,y)} η οποία είναι επιμορφισμός \displaystyle{\mathbb{Q}} αλγεβρών.

Προφανώς, αν \displaystyle{f(x,y)=x\,h(x,y)\in\langle{x\rangle} , τότε \displaystyle{\Phi(f(x,y))=0} , άρα \displaystyle{\langle{x\rangle}\subseteq \rm{Ker}(\Phi)} .

Αντίστροφα, έστω \displaystyle{f(x,y)\in\rm{Ker}(\Phi)} . Τότε, \displaystyle{\Phi(f(x,y))=f(0,y)=0\,\,(\ast)} . Aν στο πολυώνυμο

\displaystyle{f(x,y)} δεν υπάρχουν μονώνυμα του \displaystyle{y} , τότε \displaystyle{f(x,y)\in\langle{x\rangle}} .

Αν υπάρχουν μονώνυμα του \displaystyle{y} , τότε η σχέση \displaystyle{(\ast)} μας λέει ότι αυτά "σκοτώνονται" , άρα πάλι

\displaystyle{f(x,y)\in\langle{x\rangle}} .

Εν τέλει, \displaystyle{\rm{Ker}(\Phi)=\langle{x\rangle}} και από πρώτο θεώρημα Ισομορφισμών δακτυλίων έχουμε ότι

\displaystyle{\mathbb{Q}[x,y]/\langle{x\rangle}\cong \mathbb{Q}[y]} και ο τελευταίος δακτύλιος είναι ακέραια περιοχή.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Ειρήνη 33
Δημοσιεύσεις: 267
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 11, 2014 12:43 am

Re: Πρώτο ιδεώδες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ειρήνη 33 » Δευ Απρ 18, 2016 5:09 pm

BAGGP93 έγραψε:Ορίζουμε απεικόνιση \displaystyle{\Phi:\mathbb{Q}[x,y]\to \mathbb{Q}[y]\,\,,f(x,y)\mapsto f(0,y)} η οποία είναι επιμορφισμός \displaystyle{\mathbb{Q}} αλγεβρών.


Για να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός, πρέπει:
\Phi (f_1(x,y)\cdot f_2(x,y)) = \Phi (f_1(x,y))\cdot \Phi (f_2(x,y))

Έχουμε ότι \Phi (f_1(x,y))\cdot \Phi (f_2(x,y))=f_1(0,y)\cdot f_2(0,y). Πώς υπολογίζουμε το \Phi (f_1(x,y)\cdot f_2(x,y)) ;

Επίσης είναι επί επειδή για κάθε f(0,y)\in \mathbb{Q}[y] υπάρχει ένα στοιχείο f(x,y) έτσι ώστε \Phi (f(x,y))=f(0,y), σωστά;


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1352
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Πρώτο ιδεώδες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Δευ Απρ 18, 2016 5:50 pm

Ειρήνη 33 έγραψε:
BAGGP93 έγραψε:Ορίζουμε απεικόνιση \displaystyle{\Phi:\mathbb{Q}[x,y]\to \mathbb{Q}[y]\,\,,f(x,y)\mapsto f(0,y)} η οποία είναι επιμορφισμός \displaystyle{\mathbb{Q}} αλγεβρών.


Για να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός, πρέπει:
\Phi (f_1(x,y)\cdot f_2(x,y)) = \Phi (f_1(x,y))\cdot \Phi (f_2(x,y))

Έχουμε ότι \Phi (f_1(x,y))\cdot \Phi (f_2(x,y))=f_1(0,y)\cdot f_2(0,y). Πώς υπολογίζουμε το \Phi (f_1(x,y)\cdot f_2(x,y)) ;

Επίσης είναι επί επειδή για κάθε f(0,y)\in \mathbb{Q}[y] υπάρχει ένα στοιχείο f(x,y) έτσι ώστε \Phi (f(x,y))=f(0,y), σωστά;
Γεια σου και πάλι Ειρήνη.

Είναι προφανές ότι η \displaystyle{\Phi} διατηρεί την πρόσθεση και το βαθμωτό γινόμενο με στοιχεία του \displaystyle{\mathbb{Q}} .

Πρόσεχε στο επί : Όχι για κάθε \displaystyle{f(0,y)\in\mathbb{Q}[y]} . Παίρνεις τυχαίο \displaystyle{a_0+a_1\,y+...+a_n\,y^n\in\mathbb{Q}[y] .

Τότε, \displaystyle{f(x,y)=a_0+a_1\,x^{0}\,y+...+a_{n}\,x^{0}\,y^n=a_0+a_1\,y+...+a_n\,y^n\in\mathbb{Q}[x,y]} και

\displaystyle{\Phi(f(x,y))=f(0,y)=a_0+a_1\,y+...+a_n\,y^n} .

Απομένει η διατήρηση του πολλαπλασιασμού :

Λόγω του ότι η \displaystyle{\Phi} διατηρεί την πρόσθεση και τα βαθμωτά γινόμενα με στοιχεία από το \displaystyle{\mathbb{Q}} ,

αρκεί να δείξεις ότι \displaystyle{\Phi((x^{n_1}\,y^{m_1})\cdot (x^{n_2}\,y^{m_2}))=\Phi(x^{n_1}\,y^{m_1})\cdot \Phi(x^{n_2}\,y^{m_2})} καθώς το

τυχόν \displaystyle{f(x,y)\in\mathbb{Q}[x,y]} είναι της μορφής \displaystyle{f(x,y)=\sum_{j=0}^{m}\sum_{i=0}^{n(j)}a_i\,x^i\,y^j} .

Πράγματι, έχουμε

\displaystyle{\begin{aligned} \Phi((x^{n_1}\,y^{m_1})\cdot (x^{n_2}\,y^{m_2})&=\Phi(x^{n_1+n_2}\,y^{m_1+m_2})\\&=0\\&=0\cdot 0\\&=\Phi(x^{n_1}\,y^{m_1})\cdot \Phi(x^{n_2}\,y^{m_2})\end{aligned}}

Ας το δούμε και για συγκεκριμμένα πολυώνυμα :

\displaystyle{\begin{aligned} \Phi((y^2+x\,y^3)\cdot (2^{-1}+x\,y^2+x\,y^7))&=\Phi(2^{-1}\,y^2+x\,y^4+x\,y^9+2^{-1}\,x\,y^3+x^2\,y^5+x^2\,y^{10})\\&=2^{-1}\,y^2\end{aligned}}

και απ΄την άλλη

\displaystyle{\Phi(y^2+x\,y^3)\cdot \Phi(2^{-1}+x\,y^2+x\,y^7)=(y^2)\cdot 2^{-1}=2^{-1}\,y^2} .

H \displaystyle{\Phi} όπου βλέπει \displaystyle{x} , το "σκοτώνει" .


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης