πεπερασμενες ομαδες πινακων

Συντονιστής: Demetres

pioni1
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 10, 2012 1:38 pm

πεπερασμενες ομαδες πινακων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pioni1 » Δευ Μάιος 02, 2016 6:39 pm

Έστω G πεπερασμένη υποομάδα της GL_n(\mathbb C) (των αντιστρέψιμων n \times n πινάκων με στοιχεία από το \mathbb C).
Αν \sum _{g \in G}Tr(g) =0, τότε \sum _{g \in G}g =0


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: πεπερασμενες ομαδες πινακων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Μάιος 03, 2016 6:10 pm

Έστω \displaystyle{k = \left| G \right|} και \displaystyle{x = \frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} g .} Παρατηρούμε ότι για κάθε \displaystyle{h \in G} η απεικόνιση \displaystyle{G \to G:g \mapsto gh} είναι 1-1 και επί. Άρα, είναι:

\displaystyle{{x^2} = {\left( {\frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} g } \right)^2} = \frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{g \in G} {\sum\limits_{h \in G} {gh} }  = \frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{g \in G} {\sum\limits_{h \in G} g }  = \frac{1}{k}\sum\limits_{h \in G} {\left( {\frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} g } \right)}  = \frac{1}{k}\sum\limits_{h \in G} x  = \frac{1}{k}kx = x.}

Έτσι, ο πίνακας \displaystyle{x} είναι ταυτοδύναμος (idempotent), οπότε το ίχνος του ισούται με την τάξη του (αφού εργαζόμαστε στο \mathbb{C} και γενικότερα σε σώμα χαρακτηριστικής 0). Επομένως,

\displaystyle{{\rm{rank}}\left( x \right) = {\rm{tr}}\left( x \right) = \frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} {{\rm{tr}}\left( g \right)}  = 0,}

οπότε \displaystyle{x = 0} και άρα \displaystyle{\sum\limits_{g \in G} g  = 0.}

Σημείωση: Ευχαριστώ πολύ το Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση μιας αβλεψίας.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης