Ισχύει ότι I=0;

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα .
Ισχύει ισχύει ότι αν

ιδεώδες του

και

είναι ελεύθερο

-module τότε I=0

;

BAGGP93 · #2

Γεια σου Ειρήνη. Γράφω αυτά που σκέφτηκα γιατί κόλλησα σε ένα σημείο.

Αν αυτή η πρόταση δεν είναι αληθής, τότε δεν έχω αντιπαράδειγμα. Αν είναι όμως, σκέφτηκα αυτά :

Θεωρούμε τη βραχεία και ακριβή ακολουθία $\displaystyle{R}$ - προτύπων

$\displaystyle{\left\{0\right\}\to I\to R\to R/I\to \left\{0\right\}}$ , όπου από το $\displaystyle{I}$ στο $\displaystyle{R}$ έχουμε την

ένθεση $\displaystyle{i(x)=x\,,x\in I}$ και από το $\displaystyle{R}$ στο $\displaystyle{R/I}$ έχουμε τον φυσικό επιμορφισμό.

Επειδή το $\displaystyle{R}$ - πρότυπο $\displaystyle{\left(R/I,+\right)}$ είναι ελεύθερο, η παραπάνω ακολουθία διασπάται, οπότε το

$\displaystyle{I}$ είναι ευθύς προσθετέος του $\displaystyle{R}$ , δηλαδή $\displaystyle{R=I\oplus J}$ , όπου $\displaystyle{J}$

ιδέωδες του $\displaystyle{R}$ , ελεύθερο, αφού $\displaystyle{J\cong R/I}$ ως $\displaystyle{R}$ - πρότυπα.

Τότε, $\displaystyle{J=\langle{e_2\rangle}}$ , όπου $\displaystyle{e_1\,,e_2\in R}$ ώστε $\displaystyle{1=e_1+e_2}$ .

Επίσης, $\displaystyle{I=\langle{e_1\rangle}$ , Στόχος μου είναι να δείξω ότι $\displaystyle{e_1=0}$ . Δεν το κατάφερα.

Ίσως υπάρχει πιο εύκολη απάντηση ή αντιπαράδειγμα.

#3

Έστω $\displaystyle{a \in I}$ και $\displaystyle{x = r + I \in \frac{R}{I},}$ με $\displaystyle{x \ne 0}$ (δηλαδή $\displaystyle{r \notin I}$ ). Τότε, είναι:

$\displaystyle{ax = a\left( {r + I} \right) = ar + I = 0}$ στο δακτύλιο $\displaystyle{\frac{R}{I},}$

αφού $\displaystyle{ar \in I}$ (γιατί το $\displaystyle{I}$ είναι ιδεώδες).

Αν, λοιπόν, το $\displaystyle{\frac{R}{I}}$ είναι ελεύθερο $\displaystyle{R}$ -πρότυπο, τότε από τη σχέση $\displaystyle{ax = 0}$ με $\displaystyle{x \ne 0}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{a = 0}$ (γιατί το $\displaystyle{\left\{ x \right\}}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητο). Επειδή το $\displaystyle{a \in I}$ είναι τυχαίο, προκύπτει ότι $\displaystyle{I = 0.}$

Ειρήνη 33 · #4

Ευχαριστώ πολύ!

Ισχύει ότι I=0;

Ισχύει ότι I=0;

Re: Ισχύει ότι I=0;

Re: Ισχύει ότι I=0;

Re: Ισχύει ότι I=0;

Μέλη σε σύνδεση