ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

Συντονιστής: Demetres

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Σεπ 07, 2016 5:30 pm

Κάποτε πολλά στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας ήταν στην εξεταστέα ύλη των Δεσμών. Τώρα ίσως η ύλη αυτή να φέρνει σε δύσκολη θέση πολλούς πρωτοετείς φοιτητές και σπουδαστές. Ακολουθεί ένα θέμα της 1ης Δέσμης , ίσως ενδιαφέρει κάποιους...

Έστω οι 3χ3 πίνακες A και B για τους οποίους ισχύει ότι A^{2}+2A \cdot B+3I=O , όπου I ο μοναδιαίος πίνακας τάξεως 3 και O o μηδενικός πίνακας τάξεως 3.
Αποδείξτε ότι:
α) Ο A είναι αντιστρέψιμος.
β) A \cdot B=B \cdot A
γ)Το πολυώνυμο P\left ( x \right )=\left | A+x \cdot B \right | με x πραγματικό αριθμό , έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \left ( 0,2 \right )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Σεπ 07, 2016 5:51 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Κάποτε πολλά στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας ήταν στην εξεταστέα ύλη των Δεσμών. Τώρα ίσως η ύλη αυτή να φέρνει σε δύσκολη θέση πολλούς πρωτοετείς φοιτητές και σπουδαστές. Ακολουθεί ένα θέμα της 1ης Δέσμης , ίσως ενδιαφέρει κάποιους...

Έστω οι 3χ3 πίνακες A και B για τους οποίους ισχύει ότι A^{2}+2A \cdot B+3I=O , όπου I ο μοναδιαίος πίνακας τάξεως 3 και O o μηδενικός πίνακας τάξεως 3.
Αποδείξτε ότι:
α) Ο A είναι αντιστρέψιμος.
β) A \cdot B=B \cdot A
α)

A\,A+2\,A\,B=-3\,I_3\quad \Rightarrow\quad A\,\big(-\frac{1}{3}\,\big(A+2B\big)\big)=I_3 .

Άρα ο A είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο A^{-1}=-\frac{1}{3}\,\big(A+2B\big)

β)

\begin{aligned} 
A^{-1}A=I_3\quad &\Rightarrow\quad\big(-\tfrac{1}{3}\,\big(A+2B\big)\big)\,A=I_3\\ 
 &\Rightarrow\quad (A+2B)\,A=-3I_3\\ 
 &\Rightarrow\quad A\,A+2\,B\,A+3I_3=O \end{aligned}

Συγκρίνοντας την με την δοθείσα ταυτότητα προκύπτει A\,B=B\,A .

Υ.Γ. Θεωρώ το εισαγωγικό σχόλιο για την "ύλη αυτή να φέρνει σε δύσκολη θέση πολλούς πρωτοετείς φοιτητές και σπουδαστές" υπερβολικό. Ένας πρωτοετής φοιτητής καλείται να μάθει μια ολόκληρη θεωρία, αυτήν της Γραμμικής Άλγεβρας και όχι κάποιες "μεθόδους" επίλυσης "ειδικών" ασκήσεων.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Σεπ 07, 2016 6:50 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: γ)Το πολυώνυμο P\left ( x \right )=\left | A+x \cdot B \right | με x πραγματικό αριθμό , έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \left ( 0,2 \right )
Ισχύει \displaystyle \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \det \left( - \frac{1}{3} (A + 2B) \right) = - \frac{1}{27} \det(A + 2B).

Άρα τα \det (A) και \det (A + 2B) είναι ετερόσημα, οπότε από Bolzano έχουμε το ζητούμενο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης