Σελίδα 1 από 1

ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 07, 2016 5:30 pm
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Κάποτε πολλά στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας ήταν στην εξεταστέα ύλη των Δεσμών. Τώρα ίσως η ύλη αυτή να φέρνει σε δύσκολη θέση πολλούς πρωτοετείς φοιτητές και σπουδαστές. Ακολουθεί ένα θέμα της 1ης Δέσμης , ίσως ενδιαφέρει κάποιους...

Έστω οι 3χ3 πίνακες A και B για τους οποίους ισχύει ότι A^{2}+2A \cdot B+3I=O , όπου I ο μοναδιαίος πίνακας τάξεως 3 και O o μηδενικός πίνακας τάξεως 3.
Αποδείξτε ότι:
α) Ο A είναι αντιστρέψιμος.
β) A \cdot B=B \cdot A
γ)Το πολυώνυμο P\left ( x \right )=\left | A+x \cdot B \right | με x πραγματικό αριθμό , έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \left ( 0,2 \right )

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 07, 2016 5:51 pm
από grigkost
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Κάποτε πολλά στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας ήταν στην εξεταστέα ύλη των Δεσμών. Τώρα ίσως η ύλη αυτή να φέρνει σε δύσκολη θέση πολλούς πρωτοετείς φοιτητές και σπουδαστές. Ακολουθεί ένα θέμα της 1ης Δέσμης , ίσως ενδιαφέρει κάποιους...

Έστω οι 3χ3 πίνακες A και B για τους οποίους ισχύει ότι A^{2}+2A \cdot B+3I=O , όπου I ο μοναδιαίος πίνακας τάξεως 3 και O o μηδενικός πίνακας τάξεως 3.
Αποδείξτε ότι:
α) Ο A είναι αντιστρέψιμος.
β) A \cdot B=B \cdot A
α)

A\,A+2\,A\,B=-3\,I_3\quad \Rightarrow\quad A\,\big(-\frac{1}{3}\,\big(A+2B\big)\big)=I_3 .

Άρα ο A είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο A^{-1}=-\frac{1}{3}\,\big(A+2B\big)

β)

\begin{aligned} 
A^{-1}A=I_3\quad &\Rightarrow\quad\big(-\tfrac{1}{3}\,\big(A+2B\big)\big)\,A=I_3\\ 
 &\Rightarrow\quad (A+2B)\,A=-3I_3\\ 
 &\Rightarrow\quad A\,A+2\,B\,A+3I_3=O \end{aligned}

Συγκρίνοντας την με την δοθείσα ταυτότητα προκύπτει A\,B=B\,A .

Υ.Γ. Θεωρώ το εισαγωγικό σχόλιο για την "ύλη αυτή να φέρνει σε δύσκολη θέση πολλούς πρωτοετείς φοιτητές και σπουδαστές" υπερβολικό. Ένας πρωτοετής φοιτητής καλείται να μάθει μια ολόκληρη θεωρία, αυτήν της Γραμμικής Άλγεβρας και όχι κάποιες "μεθόδους" επίλυσης "ειδικών" ασκήσεων.

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1ης ΔΕΣΜΗΣ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 07, 2016 6:50 pm
από dement
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: γ)Το πολυώνυμο P\left ( x \right )=\left | A+x \cdot B \right | με x πραγματικό αριθμό , έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \left ( 0,2 \right )
Ισχύει \displaystyle \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \det \left( - \frac{1}{3} (A + 2B) \right) = - \frac{1}{27} \det(A + 2B).

Άρα τα \det (A) και \det (A + 2B) είναι ετερόσημα, οπότε από Bolzano έχουμε το ζητούμενο.