Μία ορίζουσα!

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3413
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Μία ορίζουσα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 12, 2016 2:22 pm

Έστω p πρώτος και έστω \omega μια πρωταρχική p-οστή ρίζα της μονάδος (primite root of unity). Ορίζουμε
\displaystyle{\mathcal{V}= \det\begin{pmatrix} 
1 &1  &1  &\cdots  &1 \\  
 1& \omega &\omega^2  &\cdots  &\omega^{p-1} \\  
1 &\omega^2  &\left ( \omega^2 \right )^2  &\cdots  &\left ( \omega^2 \right )^{p-1} \\  
 \vdots& \vdots &\vdots  &  \ddots& \vdots\\  
 1& \omega^{p-1} &\left ( \omega^{p-1} \right )^2  &\cdots  &\left ( \omega^{p-1} \right )^{p-1}  
\end{pmatrix}} Να υπολογιστεί ο ρητός αριθμός \displaystyle{\mathcal{V}^2}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μία ορίζουσα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 13, 2016 11:21 am

Η ορίζουσα, είναι ορίζουσα VanderMonde οπότε έχουμε

\displaystyle{ V = \prod_{0 \leqslant i < j \leqslant p-1}(\omega^j - \omega^i)}

και άρα

\displaystyle{ V^2 = (-1)^{\binom{p}{2}}\prod_{i=0}^{p-1} \prod_{j \neq i} (\omega^i - \omega^j)}.

Το πρόσημο (-1)^{\binom{p}{2}} εμφανίζεται επειδή για κάθε ζεύγος (i,j) με i \neq j πολλαπλασίασα μια φορά το \omega^j - \omega^i και μία το \omega^i - \omega^j ενώ θα έπρεπε και οι δύο παράγοντες να είναι οι \omega^{\max\{i,j\}}-\omega^{\min\{i,j\}}

Θεωρώ τώρα το πολυώνυμο

\displaystyle{ P(x) = \prod_{j=0}^{p-1} (x - \omega^j) = X^p - 1}

Οπότε είναι και

\displaystyle{ p\left(\omega^i\right)^{p-1} = P'(\omega^i) = \prod_{j \neq i} (\omega^i - \omega^j)}

Άρα

\displaystyle{ V^2 = (-1)^{\binom{p}{2}}p^p\left( \prod_{i=0}^{p-1} \omega^i\right)^{p-1}}

Όμως \displaystyle{ -1 = P(0) = (-1)^p \prod_{i=0}^{p-1} \omega^i}

Άρα εν τέλει είναι

\displaystyle{ V^2 = (-1)^{\binom{p}{2}+ (p^2-1)}p^p}

Αλλιώς,

\displaystyle{ V^2 = \begin{cases} 4 & \text{\gr αν } p = 2 \\ p^p & \text{\gr αν } p \equiv 1 \bmod 4 \\ -p^p & \text{\gr αν } p \equiv 3 \bmod 4\end{cases}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης