Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

Συντονιστής: Demetres

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1999
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 13, 2016 2:08 pm

Εστω A=(a_{1},0,a_{3}) ,B=(b_{1},b_{2},b_{3})
δυο 3x3 πίνακες.
a_{1},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} ανήκουν στον\mathbb{R}^{3}
Αν C=tA+B να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του C να είναι ανεξάρτητο του t



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1999
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 10, 2016 4:54 pm

Επαναφορά με υπόδειξη.

Το χαρακτηριστικό είναιf(x,t)=det(C-xI)

Για να είναι ανεξάρτητο του t
πρέπει και αρκεί

\dfrac{\partial f}{\partial t}=0

Μένει να εφαρμοσθεί ο κανόνας παραγώγισης για ορίζουσες.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1999
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για χαρακτηριστικό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:39 pm

Ο κανόνας παραγώγισης για ορίζουσες είναι:
Αν g(t)=det(a(t),b(t),c(t)) τότε

g'(t)=det(a'(t),b(t),c(t))+det(a(t),b'(t),c(t))+det(a(t),b(t),c'(t))

Εχουμε C-xI=At+(B-xI)=At+R οπου R=(b_{1}-xe_{1},b_{2}-xe_{2},b_{3}-xe_{3})

Θετουμε r_{i}=b_{i}-xe_{i}

ετσι C-xI=(a_{1}t+r_{1},r_{2},a_{3}t+r_{3})

Αρα \frac{\partial f(t,x)}{\partial t}=det(a_{1},r_{2},a_{3}t+r_{3})+det(a_{1}t+r_{1},r_{2},a_{3})

Απο τις ιδιότητες των οριζουσων παίρνουμε

0=2tdet(a_{1},r_{2},a_{3})+det(a_{1},r_{2},r_{3})+det(r_{1},r_{2},a_{3})

Αρα 0=det(a_{1},r_{2},a_{3}) και 0=det(a_{1},r_{2},r_{3})+det(r_{1},r_{2},a_{3})

Απο την πρώτη έχουμε 0=det(a_{1},b_{2}-xe_{2},a_{3})=det(a_{1},b_{2},a_{3})-xdet(a_{1},e_{2},a_{3})

Επειδή ισχύει για όλα τα x παίρνουμε ότι

det(a_{1},b_{2},a_{3})=0,det(a_{1},e_{2},a_{3})=0
ομοια δουλεύοντας την δεύτερη παίρνουμε και άλλες συνθήκες
(οι πράξεις είναι πολλές)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης