Μία άσκηση σε πίνακες

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Μία άσκηση σε πίνακες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 18, 2016 8:23 am

Έστω A, B \in \mathcal{M}\left(\mathbb{Z}\right) να 'ναι 3 \times 3 τετραγωνικοί πίνακες τέτοιοι ώστε AB=BA και \det A = \det B=0. Αποδείξατε ότι υπάρχουν p, q (όχι απαραίτητα διαφορετικά) τέτοιοι ώστε:
\displaystyle{\det \left(A^3+B^3 \right) = p^3+q^3} Άνευ λύσης


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 26, 2016 8:07 pm

Θα θελα να δω μία λύση στην άσκηση αυτή. Οπότε , επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1386
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Νοέμ 26, 2016 11:32 pm

Ονομάζουμε έναν 3 \times 3 πίνακα "τύπου A" αν δύο από τις στήλες του είναι οι αντίστοιχες του A και η τρίτη η αντίστοιχη του B. Ομοίως ορίζουμε έναν πίνακα τύπου B. Έστω s_A το άθροισμα των τριών οριζουσών τύπου A και ομοίως το s_B.

Λόγω της αντιμεταθετικότητας ισχύει \det(A^3+B^3) = \det(A+B) \det(A-e^{i\pi / 3}B) \det(A-e^{-i\pi / 3}B)

Λόγω των μηδενικών οριζουσών ισχύουν τα \det(A+B)=s_A+s_B, \det(A-e^{\pm i \pi / 3}B)=-e^{\pm i \pi / 3} s_A + e^{\pm 2i \pi / 3} s_B

Έτσι, \det(A^3 + B^3) = s_A^3 + s_B^3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Νοέμ 27, 2016 12:07 am

Δημήτρη ευχαριστώ. Θα πρέπει να ξανά διαβάσω τη λύση σου για να τη καταλάβω καλύτερα. Θα το κάνω κάποια άλλη φορά μιας και τώρα :sleeping:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1386
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Νοέμ 27, 2016 12:17 am

Τόλη, είναι όντως γραμμένη κάπως "γρήγορα". Πρόκειται για τη συνήθη παραγοντοποίηση του a^3+b^3 μαζί με το "σπάσιμο" ορίζουσας της οποίας μια στήλη (εδώ τρεις αλλά η ουσία δεν αλλάζει) γράφεται ως άθροισμα στηλών.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Δεκ 01, 2016 4:37 pm

Δημήτρη είχα καταλάβει τη παραγοντοποίηση a^3+\beta^3 αλλά αυτό το "σπάσιμο" που λες δε το γνωρίζω καν ήή αν πρόκειται για κάτι γνωστό αυτή τη στιγμή αδυνατώ να καταλάβω περί τίνος πρόκειται. Οπότε αδυνατώ να καταλάβω το άλλο μισό της λύσης σου. Μήπως μπορείς εν συντομία να εξηγήσεις τι είναι αυτό;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1386
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Δεκ 01, 2016 5:02 pm

Όταν μια στήλη σε μια ορίζουσα γράφεται ως άθροισμα δύο στηλών, η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των αντίστοιχων δύο οριζουσών.

Στην περίπτωσή μας αυτό το κάνουμε σε τρεις στήλες, οπότε έχουμε άθροισμα 2^3=8 οριζουσών, δύο από τις οποίες μηδενίζονται από την εκφώνηση και οι άλλες 6 μας δίνουν τα s_A, s_B.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Δεκ 01, 2016 9:51 pm

Ωραία ευχαριστώ ... Το έπιασα τωρα .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης