Ταυτοδύναμος πίνακας

Συντονιστής: Demetres

Mathletic
Δημοσιεύσεις: 275
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Ταυτοδύναμος πίνακας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mathletic » Τετ Νοέμ 09, 2016 9:37 pm

Γειά σας,

ένας πίνακας A λέγεται ταυτοδύναμος αν A^2=A.

Έστω ότι ο X είναι ένας m\times n- πίνακας και ότι ο (X^TX)^{-1} υπάρχει.

Θέλω να δείξω ότι ο A=I_m-X(X^TX)^{-1}X^T είναι ταυτοδύναμος.


Έκανα τα εξής:

A^2  =A\cdot A=(I_m-X(X^TX)^{-1}X^T)\cdot (I_m-X(X^TX)^{-1}X^T) \\  =I_m(I_m-X(X^TX)^{-1}X^T)-X(X^TX)^{-1}X^T(I_m-X(X^TX)^{-1}X^T) \\  =I_mI_m-I_mX(X^TX)^{-1}X^T-X(X^TX)^{-1}X^TI_m+(X(X^TX)^{-1}X^T)(X(X^TX)^{-1}X^T) \\ =I_m-X(X^TX)^{-1}X^T-X(X^TX)^{-1}X^T+X(X^TX)^{-1}(X^TX)(X^TX)^{-1}X^T \\ =I_m-2X(X^TX)^{-1}X^T+XI_n(X^TX)^{-1}X^T \\ =I_m-2X(X^TX)^{-1}X^T+X(X^TX)^{-1}X^T \\ =I_m-X(X^TX)^{-1}X^T =A

Είναι όλα σωστά; Θα μπορούσα να βελτιώσω κάτι;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτοδύναμος πίνακας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 09, 2016 10:22 pm

Mathletic έγραψε: Είναι όλα σωστά; Θα μπορούσα να βελτιώσω κάτι;
Σωστά, αλλά πλατειάζεις σε υπερβολικό βαθμό. Θα μπορούσες να συμμαζέψεις πολλά από τα περιττά βήματα χωρίς να παραβιάζεις τον κανόνα που θέλουν την λιτότητα ως χαρακτηριστικό των Μαθηματικών. Όπως και να είναι, να μία ευκολότερη μέθοδος:

Έχουμε από την υπόθεση

\displaystyle{ I_m- A = X(X^TX)^{-1}X^T\, {\color {red}(*)}}

Υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη έχουμε

\displaystyle{ I_m- 2A + A^2= X{\color {blue}(X^TX)^{-1}X^TX}(X^TX)^{-1}X^T= X{\color {blue}I_n}(X^TX)^{-1}X^T = I_m- A } (η τελευταία ισότητα είναι από την {\color {red}(*)}.

Με άλλα λόγια δείξαμε \displaystyle{ I_m- 2A + A^2=  I_m- A } , από όπου αμέσως \displaystyle{ A^2=  A }


Mathletic
Δημοσιεύσεις: 275
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Ταυτοδύναμος πίνακας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mathletic » Τετ Νοέμ 09, 2016 10:51 pm

Κατάλαβα!

Ευχαριστώ πολύ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης