Τάξη του AB

Mathletic · #1

Γεία σας!

Έστω $\mathbb{K}$ ένα σώμα και $A\in \mathbb{K}^{p\times q}$ και $B\in \mathbb{K}^{q\times r}$ .

Θέλω να δείξω ότι $\text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(A)$ και $\text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(B)$ .

Πολλαπλασιάζοντας δύο πίνακες AB = C

, έχουμε ότι AB_i = C_i

, δηλαδή κάθε στήλη του

είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του

, σωστά;

Το $\text{Rank}(AB)$ είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του

.
Ισχύει ότι ο αριθμός αυτός είναι μικρότερος από τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του

;

Μήπως επειδή στον γραμμικό συνσδασμό κάποιες σταθερές ίσως να είναι μηδέν;

#2

Mathletic έγραψε:Γεία σας!

Έστω $\mathbb{K}$ ένα σώμα και $A\in \mathbb{K}^{p\times q}$ και $B\in \mathbb{K}^{q\times r}$ .

Θέλω να δείξω ότι $\text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(A)$ και $\text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(B)$ .

Πολλαπλασιάζοντας δύο πίνακες , έχουμε ότι , δηλαδή κάθε στήλη του είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του , σωστά;

Το $\text{Rank}(AB)$ είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του .
Ισχύει ότι ο αριθμός αυτός είναι μικρότερος από τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του ;

Μήπως επειδή στον γραμμικό συνσδασμό κάποιες σταθερές ίσως να είναι μηδέν;

Σωστά όλα αυτά αλλά και άσχετα με την λύση.

Το ζητούμενο είναι ΑΠΟΛΥΤΑ τετριμμένο. Όπως μας έχεις συνηθίσει, γράφεις στο φόρουμ σκεπτόμενος φωναχτά παρά τις συνεχείς εκκλήσεις για το αντίθετο.

Θα δώσω μόνο υπόδειξη λόγω ακριβώς του τετριμμένου του ερωτήματος: Εξ ορισμού η τάξη ενός πίνακα είναι η διάσταση της εικόνας του. Εσύ πώς βλέπεις τις εικόνες των

και

; Σχετίζονται; Σαν σύνολα έχουν κάποια σχέση;

#3

Mathletic έγραψε: Πολλαπλασιάζοντας δύο πίνακες , έχουμε ότι , δηλαδή κάθε στήλη του είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του , σωστά;

Το $\text{Rank}(AB)$ είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του .
Ισχύει ότι ο αριθμός αυτός είναι μικρότερος από τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του ;

Ναι (μικρότερος ή ίσος για την ακρίβεια) και έπρεπε να είναι προφανές.

Mathletic · #4

Έστω $y\in \text{im}(AB)$ τότε υπάρχει διάνυσμα

τέτοιο ώστε ABx=y

. Άρα

. Τότε $y\in \text{im}(A)$ .

Οπότε $\text{im}(AB)\subseteq \text{im}(A) \Rightarrow \text{dim}(\text{im}(AB))\leq \text{dim}(\text{im}(A)) \Rightarrow \text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(A)$ .

Σωστά;

Δεν μπορούμε να δείξουμε με τον ίδιο τρόπο ότι $\text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(B)$ , σωστά;

Mathletic · #5

Μήπως μπορούμε να δείξουμε την δεύτερη σχέση ως εξής:
$\text{Rank}(AB)=\text{Rank}((AB)^T)=\text{Rank}(B^TA^T)\leq \text{Rank}(B^T)=\text{Rank}(B)$
;

#6

Mathletic έγραψε:Έστω $y\in \text{im}(AB)$ τότε υπάρχει διάνυσμα τέτοιο ώστε . Άρα . Τότε $y\in \text{im}(A)$ .

Οπότε $\text{im}(AB)\subseteq \text{im}(A) \Rightarrow \text{dim}(\text{im}(AB))\leq \text{dim}(\text{im}(A)) \Rightarrow \text{Rank}(AB)\leq \text{Rank}(A)$ .

Σωστά;

Σωστά.

Ελπίζω να αντιλαμβάνεσαι γιατί ενθαρρύνω τόσο επιτακτικά να αφιερώνεις περισσότερο χρόνο στην επίλυση κεντρικών θεμάτων.

Δεν είναι πιο καλά τώρα που έλυσες μόνος σου το ερώτημα παρά να σου δίναμε έτοιμη λύση για κάτι απλό;

#7

Mathletic έγραψε:Μήπως μπορούμε να δείξουμε την δεύτερη σχέση ως εξής:
$\text{Rank}(AB)=\text{Rank}((AB)^T)=\text{Rank}(B^TA^T)\leq \text{Rank}(B^T)=\text{Rank}(B)$
;

Ακριβώς. Η δεύτερη σχέση είναι πόρισμα/αναδιατύπωση της πρώτης.

Mathletic · #8

Ωραία. Ευχαριστώ πολύ!

Τάξη του AB

Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Re: Τάξη του AB

Μέλη σε σύνδεση