Εικόνα απεικόνισης

Mathletic · #1

Γειά σας!

Έστω

ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος και $\Phi \in \text{End}(V)$ .
Θέλω να δείξω ότι αν $\ker (\Phi )=\ker (\Phi^2)$ τότε $\text{im} (\Phi )=\text{im} (\Phi^2)$ .

Έχω κάνει τα εξής:

Έχουμε ότι $\ker \Phi=\ker \Phi^2$ . Έστω $v\in \text{Im}\Phi$ . Τότε $\exists x\in V \ : \ v=\Phi (x)$ .

Τότε $\Phi (v)=\Phi^2(x) \Rightarrow \Phi(v)-\Phi^2(x)=0 \Rightarrow \Phi (v-\Phi (x))=0 \Rightarrow v-\Phi (x)\in \ker \Phi$ . Αφού $\ker \Phi=\ker \Phi^2$ έχουμε ότι $\Phi^2(v-\Phi (x))=0$ .

Είναι σωστά ως εδώ; Πώς μπορούμε να συνεχίσουμε για να δείξουμε ότι $v=\Phi^2 (w)$ , για κάποιο $w\in V$ ?

dement · #2

Mathletic έγραψε:Γειά σας!

Έστω ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος και $\Phi \in \text{End}(V)$ .
Θέλω να δείξω ότι αν $\ker (\Phi )=\ker (\Phi^2)$ τότε $\text{im} (\Phi )=\text{im} (\Phi^2)$ .

Έχω κάνει τα εξής:

Έχουμε ότι $\ker \Phi=\ker \Phi^2$ . Έστω $v\in \text{Im}\Phi$ . Τότε $\exists x\in V \ : \ v=\Phi (x)$ .

Τότε $\Phi (v)=\Phi^2(x) \Rightarrow \Phi(v)-\Phi^2(x)=0 \Rightarrow \Phi (v-\Phi (x))=0 \Rightarrow v-\Phi (x)\in \ker \Phi$ .

Προφανέστατα αφού $v - \Phi(x) = 0$ .

Η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή και απορρέει από βασικές ιδιότητες των $\ker \Phi, \text{im} \Phi$ . Όπως σου έχει (άσκοπα) επισημανθεί στο παρελθόν, μη "σκέφτεσαι φωναχτά" και μην αρχίζεις πράξεις επί πράξεων χωρίς να αφιερώσεις λίγη σκέψη σε αυτό που ζητάει το πρόβλημα.

Εν πάση περιπτώσει:

1. Τι ιδιότητες έχουν τα $\ker (\Phi), \text{im} (\Phi)$ ;
2. Σε σχέση με τα $\ker (\Phi^2), \text{im} (\Phi^2)$ ;
3. Τι ισχύει όταν ένας υπόχωρος είναι γνήσιο υποσύνολο ενός άλλου υποχώρου;

(Υποθέτω ότι αντί για "πεπερασμένος" εννοείς "πεπερασμένης διάστασης").

Mathletic · #3

Έστω $y\in \text{im}\Phi^2$ άρα $y=\Phi^2(x), x\in V$ . Τότε έχουμε ότι $y= \Phi (\Phi (x)) \Rightarrow y\in \text{im}\Phi$ .

Οπότε $\text{im}\Phi^2\subseteq \text{im}\Phi$ .

Έχουμε την σχέση $\dim (V)=\dim \ker \Phi +\dim \text{im}\Phi$ και $\dim (V)=\dim \ker \Phi^2 +\dim \text{im}\Phi^2$ .

Αφού $\ker \Phi=\ker \Phi^2$ έχουμε ότι
$\dim (V)=\dim \ker \Phi +\dim \text{im}\Phi^2 \\ \Rightarrow \dim \ker \Phi +\dim \text{im}\Phi=\dim \ker \Phi +\dim \text{im}\Phi^2 \\ \Rightarrow \dim \text{im}\Phi=\dim \text{im}\Phi^2$

Από τα παραπάνω προκύπτει το ζητούμενο, σωστά;

#4

Mathletic έγραψε: Από τα παραπάνω προκύπτει το ζητούμενο, σωστά;

Γιατί τόση έλλειψη αυτοπεποίθησης;

#5

Mathletic έγραψε: $\dim \text{im}\Phi=\dim \text{im}\Phi^2$

Από τα παραπάνω προκύπτει το ζητούμενο, σωστά;

Επανέρχομαι για να ξεκαθαρίσω κάτι: Το παραπάνω είναι μεν σωστό αλλά πρέπει να πεις κάτι (λίγο) ακόμα ως προς την δικαιολόγηση.

Θέλω να πω: Αν έχουμε δύο υποχώρους με την ίδια διάσταση, εν γένει δεν είναι ίσοι. Για παράδειγμα ο $\{(t,0,0) | t \in \mathbb R \}$ και ο $\{(0, t,0) | t \in \mathbb R \}$ . Στο παραπάνω τι δικαιολογεί και είναι ίσοι;

Περιμένουμε την μικρή δικαιολογία που λείπει. Ο Δημήτρης παραπάνω ουσιαστικά στην έχει πει.

Mathletic · #6

Στην περίπτωση αυτή έχουμε επιπλέον ότι $\text{im}\Phi^2\subseteq \text{im}\Phi$ . Για αυτό το λόγο και αφού έχουν την ίδια διάσταση έπεται ότι $\text{im}\Phi^2= \text{im}\Phi$ .

#7

Mathletic έγραψε:Στην περίπτωση αυτή έχουμε επιπλέον ότι $\text{im}\Phi^2\subseteq \text{im}\Phi$ . Για αυτό το λόγο και αφού έχουν την ίδια διάσταση έπεται ότι $\text{im}\Phi^2= \text{im}\Phi$ .

Mathletic · #8

Ευχαριστώ!

Εικόνα απεικόνισης

Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Re: Εικόνα απεικόνισης

Μέλη σε σύνδεση