Θέμα γραμμικής Ι

M.S.Vovos · #1

Το βρήκα στις σημειώσεις μου και είναι ένα θέμα γραμμικής το οποίο με είχε δυσκολέψει αρκετά.

Έστω οι μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ , ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και η απεικόνιση $T:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow \mathbb{F}^{n}, n\geqslant 2$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{T:\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n} \right ) \longmapsto \left ( \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i},\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}^{2}x_{i},\ldots ,\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}^{n}x_{i} \right )}$ Θεωρούμε, επιπλέον, την κανονική βάση $\displaystyle \left \{ e_{1},e_{2},\ldots ,e_{\nu }\right \}$ του $\displaystyle \mathbb{F}^{\nu }$ και την αντίστοιχη διατεταγμένη του βάση $\displaystyle \mathbf{e}=\left ( e_{1},e_{2},\ldots,e_{\nu } \right )$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η

είναι γραμμική απεικόνιση και να βρείτε τον πίνακα

της γραμμικής απεικόνισης

ως προς την διατεταγμένη του βάση $\mathbf{e}$ .

(β) Να βρείτε την ορίζουσα της γραμμικής απεικόνισης

και να εξετάσετε αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση $\displaystyle g:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow \mathbb{F}^{n}$ , τέτοια ώστε να ισχύει $f\circ g=g\circ f$ .

(γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \mathrm{adj}\left ( \mathrm{adj}A \right )=A\cdot \left ( \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod_{1\leq i<j\leq n}\left ( \lambda _{j}-\lambda _{i} \right ) \right )^{n-2}$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:Το βρήκα στις σημειώσεις μου και είναι ένα θέμα γραμμικής το οποίο με είχε δυσκολέψει αρκετά.

Έστω οι μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ , ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και η απεικόνιση $T:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow \mathbb{F}^{n}, n\geqslant 2$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{T:\left ( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n} \right ) \longmapsto \left ( \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i},\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}^{2}x_{i},\ldots ,\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}^{n}x_{i} \right )}$ Θεωρούμε, επιπλέον, την κανονική βάση $\displaystyle \left \{ e_{1},e_{2},\ldots ,e_{\nu }\right \}$ του $\displaystyle \mathbb{F}^{\nu }$ και την αντίστοιχη διατεταγμένη του βάση $\displaystyle \mathbf{e}=\left ( e_{1},e_{2},\ldots,e_{\nu } \right )$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η είναι γραμμική απεικόνιση και να βρείτε τον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης ως προς την διατεταγμένη του βάση $\mathbf{e}$ .

(β) Να βρείτε την ορίζουσα της γραμμικής απεικόνισης και να εξετάσετε αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση $\displaystyle g:\mathbb{F}^{n}\longrightarrow \mathbb{F}^{n}$ , τέτοια ώστε να ισχύει $f\circ g=g\circ f$ .

(γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \mathrm{adj}\left ( \mathrm{adj}A \right )=A\cdot \left ( \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod_{1\leq i<j\leq n}\left ( \lambda _{j}-\lambda _{i} \right ) \right )^{n-2}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Τα α) είναι άμεσο: Άλλωστε και με οποιουσδήποτε συντελεστές (όχι μόνο δυνάμεις των ιδίων $\lambda _k$ ) είναι τετριμμένο ότι ο

είναι γραμμικός. Εξ ίσου τετριμμένο είναι να βρούμε τον πίνακα του

, όχι μόνο για την παραπάνω μορφή αλλά για όλους τους συντελεστές. Εδώ είναι στήλες της μορφής $\lambda _k, \lambda _k ^2 , ... \, , \lambda _k ^n$ .

β) Πρόκειται για την καλομελετημένη (και απλή στο ανάπτυγμά της) ορίζουσα Vandermonde (συνήθως η Vandermonde ξεκινά με

αλλά δεν αλλάζει η ουσία γιατί μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα τα $\lambda _k$ ). O γρήγορος (και γνωστός) τρόπος να την αναπτύξουμε είναι να παρατηρήσουμε ότι είναι πολυώνυμο ως προς κάθε $\lambda _k$ και ότι αν στην θέση κάποιoυ $\lambda _k$ βάλουμμε ένα άλλο, τότε η ορίζουσα έχει δύο στήλες ίδιες (και άρα μηδενίζεται) που σημαίνει ότι έχει παράγοντα το $\lambda _k - \lambda n$ .
Επίσης το ερώτημα $f\circ g=g\circ f$ είναι προφανές: Ο

αντιμετατίθεται με κάθε πολυώνυμο p(T)

του ευτού του, οπότε βρίσκουμε άπειρα τέτοια

.

γ) Όμοια με το β).

dement · #3

Για το (γ) μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι $\mathrm{adj} (A) = \det (A) \cdot A^{-1}$ για

αντιστρέψιμο, από όπου βγαίνει εύκολα το αποτέλεσμα.

M.S.Vovos · #4

Πολύ σωστά. Νομίζω ότι είναι περισσότερο "ψαρωτικό" παρά δύσκολο.

Θέμα γραμμικής Ι

Θέμα γραμμικής Ι

Re: Θέμα γραμμικής Ι

Re: Θέμα γραμμικής Ι

Re: Θέμα γραμμικής Ι

Μέλη σε σύνδεση