Διαστάσεις αναπαραστάσεων

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Διαστάσεις αναπαραστάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:05 pm

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική μη αβελιανή ομάδα τάξεως 21.
(β) Έστω G η πιο πάνω ομάδα. Πόσες κλάσεις συζυγίας έχει η G;
(γ) Ποιες είναι οι διαστάσεις των ανάγωγων αναπαραστάσεων της G;

Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Harvard, Φθινόπωρο 2016.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1902
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διαστάσεις αναπαραστάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 26, 2017 1:34 am

1)Ειναι φανερό ότι υπάρχουν υποομάδες με 3 και 7 στοιχεία.

Η υποομάδα έστω H με 7 στοιχεία είναι μοναδική.

Αν υπήρχε και άλλη έστω K τότε H\cap K=\left \{ 1 \right \}

και το HK θα είχε 49 στοιχεία ΑΤΟΠΟ.

Ετσι η H θα είναι κανονική.

Εστω ότι αυτή παράγεται από το a (είναι κυκλική)

Επίσης έστω b το στοιχείο που παράγει μία υποομάδα με 3 στοιχεία.

Εχουμε ότι η αρχική ομάδα παράγεται από τα a,b είναι a^{7}=1,b^{3}=1

και επειδή δεν είναι αβελιανή ab\neq ba

Λόγω της κανονικότητας της H θα έχουμε

b^{-1}ab=a^{k}

προκύπτει ότι b^{-2}ab^{2}=b^{-1}a^{k}b=a^{k^{2}}

και όμοια a=b^{-3}ab^{3}=a^{k^{3}}

Αρα k^{3}=1mod7 οπότε k=2,4

Ετσι θα έχουμε ότι b^{-1}ab=a^{2}\vee b^{-1}ab=a^{4}

Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν

είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό

Αρα υπάρχει ακριβώς μια μη αβελιανή ομάδα με 21 στοιχεία.

2)Ως γνωστόν το πλήθος των στοιχείων μιας κλάσης συζυγίας διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Αρα κάθε κλάση συζυγίας έχει 1 η 3 η 7 στοιχεία.

Μια κλάση συζυγίας είνα το \left \{ 1 \right \}.

Ανb^{-1}ab=a^{2} τότε εχουμε τις κλάσεις \left \{ a,a^{2},a^{4} \right \}

και \left \{ a^{3} ,a^{5},a^{6}\right \}

Επειδή το άθροισμα των στοιχείων των άλλων κλάσεων είναι 14 αναγκαστικά θα υπάρχουν

άλλες δύο κλάσεις που θα έχει 7 στοιχεία η κάθε μία.

Αρα έχουμε 5 κλάσεις συζυγίας.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαστάσεις αναπαραστάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 26, 2017 10:21 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν

είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό
Έστω G = \langle a,b: a^7=1, b^3=1, b^{-1}ab = a^2\rangle και H = \langle c,d: c^7=1, d^3=1, d^{-1}cd = c^4\rangle

Ο ισομορφισμός δίνεται θέτοντας c=a,d=b^2=b^{-1}. Τα c,d γεννούν την G και ικανοποιούν c^7 = 1,d^3=1 και πιο σημαντικά d^{-1}cd = b^{-2}ab^2 = b^{-1}(b^{-1}ab)b = b^{-1}a^2b = (b^{-1}ab)^2 = a^4 = c^4.

Για το (γ) θα χρησιμοποιήσουμε τα εξής τρία βασικά αποτελέσματα

(1) Το πλήθος των ανάγωγων αναπαραστάσεων ισούται με το πλήθος των κλάσεων συζυγίας.
(2) Η διάσταση κάθε ανάγωγης αναπαράστασης διαιρεί την τάξη της ομάδας.
(3) Το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων των ανάγωγων αναπαραστάσεων ισούται με την τάξη της ομάδας.

Αν λοιπόν d_1,\ldots,d_5 οι διαστάσεις, πρέπει d_i|21 για κάθε i και d_1^2 + \cdots + d_5^2 = 21. Δεν μπορούμε να έχουμε d_i = 7 ή d_i = 21 για κάποιο i. Πρέπει λοιπόν d_i = 1 ή d_i = 3 για κάθε i. Η d_1^2 + \cdots + d_5^2 = 21 δίνει d_1 = d_2 = d_3 = 1 και d_4 = d_5 = 3.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης