Ανάγωγο πολυώνυμο

Συντονιστής: Demetres

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανάγωγο πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 01, 2017 12:11 am

Εστω x_{1},x_{2},.....x_{n},n\geq 2

διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.

Θέτουμε P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})....(x-x_{n})+1

Δείξτε ότι για n\neq 2,4

το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Έστω P(x) = Q(x) R(x) με Q, R \in \mathbb{Z}[x] πολυώνυμα βαθμού μικρότερου του n.

Τότε ισχύει Q(x_i) = R(x_i) \in \{ 1, -1 \} για κάθε i = 1, 2, ..., n. Αφού το πολυώνυμο Q - R μηδενίζεται σε n σημεία και δεν έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του n, είναι το μηδενικό. Έτσι τα δύο πολυώνυμα ταυτίζονται και έχουμε P(x) = Q(x)^2.

Έστω x_1 < x_2 < ... < x_n και \displaystyle u = \frac{1}{2} (x_{n-1} + x_n). Αφού n \geqslant 6, ισχύει ότι \displaystyle P(u) - 1 = \prod_{i=1}^n (u - x_i) \leqslant \frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = - \frac{105}{32} οπότε P(u) < 0 και έχουμε άτοπο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 01, 2017 1:52 pm

dement έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Αφού n \geqslant 6
Είναι και τα n=3,5(εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Νοέμ 01, 2017 2:22 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:52 pm
dement έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Αφού n \geqslant 6
Είναι και τα n=3,5(εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)
Αφού τα Q, R ταυτίζονται, το n πρέπει να είναι άρτιο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2787
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 03, 2017 11:15 pm

dement έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 2:22 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:52 pm
dement έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Αφού n \geqslant 6
Είναι και τα n=3,5(εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)
Αφού τα Q, R ταυτίζονται, το n πρέπει να είναι άρτιο.
Έχουμε βέβαια και τις περιπτώσεις n=2, n=4.

Η πρώτη περίπτωση είναι εύκολη, καθώς από την (x-x_1)(x-x_2)+1=(x-p)^2 λαμβάνουμε 2p=x_1+x_2, p^2=x_1x_2+1, άρα x_2=x_1\pm2 με x_1 τυχόντα ακέραιο.

Στην δεύτερη περίπτωση από την (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)+1=(x-p)^2(x-q)^2 λαμβάνουμε p+q=\dfrac{S_1}{2}, pq=\dfrac{S_2}{2}-\dfrac{S_1^2}{8}=\dfrac{S_3}{S_1}=\pm\sqrt{S_4+1}, όπου S_1, S_2, S_3, S_4 οι συμμετρικές παραστάσεις των x_1, x_2, x_3, x_4: λίγο δύσκολο να ισχύουν όλες αυτές οι σχέσεις ταυτόχρονα, και μάλιστα για ακεραίους, αλλά ... προς το παρόν δεν βλέπω κάποιον γρήγορο τρόπο αποκλεισμού αυτής της πιθανότητας... (Για x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4, για παράδειγμα, οι σχέσεις ισχύουν ... αλλά οι p, q δεν είναι ακέραιοι.)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Νοέμ 04, 2017 1:19 am

Όμως στην περίπτωση n=4 η αναγωγή δεν χρειάζεται να είναι στη μορφή (x-p)^2 (x-q)^2. Αρκεί η μορφή (x^2 + px + q)^2. Έτσι, για παράδειγμα, έχουμε

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 1 = (x^2 - 5x + 5)^2


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2787
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:34 am

dement έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2017 1:19 am
Όμως στην περίπτωση n=4 η αναγωγή δεν χρειάζεται να είναι στη μορφή (x-p)^2 (x-q)^2. Αρκεί η μορφή (x^2 + px + q)^2. Έτσι, για παράδειγμα, έχουμε

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 1 = (x^2 - 5x + 5)^2
Πολύ σωστά, και αυτό λύνει το πρόβλημα πλήρως, καθώς αρκεί να παραγοντοποιείται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων (και να έχει ακέραιες ρίζες) το πολυώνυμο

(x^2+px+q)^2-1=(x^2+px+q-1)(x^2+px+q+1),

οπότε από τις διακρίνουσες των δύο παραγόντων λαμβάνουμε p^2-4q+4=m^2 και p^2-4q-4=n^2 για ακέραιους m, n, άρα (m+n)(m-n)=8 με μόνες πιθανές λύσεις τις m=\pm3, n=\pm1. Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε στην εξίσωση p^2-4q-5=0, η γενική λύση της οποίας είναι

p=4k\pm1, q=4k^2\pm2k-1.

Οι αντίστοιχες λύσεις των δευτεροβαθμίων x^2+px+q-1=0 και x^2+px+q+1=0 είναι τώρα είτε της μορφής x_1=-2k-2, x_2=-2k+1 και x_3=-2k-1, x_4=-2k (περίπτωση p=4k+1) είτε της μορφής x_1=-2k-1, x_2=-2k+2 και x_3=-2k+1, x_4=-2k (περίπτωση p=4k-1). Οι αντίστοιχες ταυτότητες είναι

(x-(-2k-2))(x-(-2k+1))(x-(-2k-1))(x-(-2k))+1=(x^2+(4k+1)x+4k^2+2k-1)^2,

(x-(-2k-1))(x-(-2k+2))(x-(-2k+1))(x-(-2k))+1=(x^2+(4k-1)x+4k^2-2k-1)^2.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2787
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 05, 2017 10:57 am

Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι το πολυώνυμο (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)+1 είναι μη ανάγωγο στους ακέραιους (ακριβέστερα τετράγωνο τριωνύμου χωρίς ακέραιες ρίζες*) αν και μόνον αν οι x_1, x_2, x_3, x_4 είναι διαδοχικοί ακέραιοι. (Και ως απλό πόρισμα λαμβάνουμε ένα γνωστό και βεβαίως πολύ ευκολότερο αποτέλεσμα: το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων συν ένα είναι τέλειο τετράγωνο (του γινομένου του πρώτου επί τον τελευταίο συν ένα).)

*η διακρίνουσα του τριωνύμου x^2+(4k\pm1)x+4k^2\pm2k-1 ισούται προς 5


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12189
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 07, 2017 10:42 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 12:11 am
Εστω x_{1},x_{2},.....x_{n},n\geq 2

διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.

Θέτουμε P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})....(x-x_{n})+1

Δείξτε ότι για n\neq 2,4

το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.
Για μία πραλλαγή της λύσης βλέπε την Άσκηση 3 εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης