Δύο ασκήσεις με αβελιανές

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Δύο ασκήσεις με αβελιανές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 25, 2017 11:34 pm

1. Έστω \mathcal{G} μία πεπερασμένη ομάδα. Αν για κάθε a, b \in \mathcal{G} \setminus \{e \} υπάρχει f \in {\rm Aut} ({\mathcal{G}) τέτοια ώστε f(a)=b τότε αποδείξατε ότι η \mathcal{G} είναι αβελιανή.

2. Αποδείξατε ότι δεν υπάρχει μη αβελιανή πεπερασμένη απλή ομάδα η τάξη της οποίας είναι αριθμός Fibonacci. ( άνευ απάντησης )


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύο ασκήσεις με αβελιανές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Δεκ 26, 2017 4:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 25, 2017 11:34 pm
1. Έστω \mathcal{G} μία πεπερασμένη ομάδα. Αν για κάθε a, b \in \mathcal{G} \setminus \{e \} υπάρχει f \in {\rm Aut} ({\mathcal{G}) τέτοια ώστε f(a)=b τότε αποδείξατε ότι η \mathcal{G} είναι αβελιανή.
Επειδή κάθε αυτομορφισμός διατηρεί την τάξη των στοιχείων όλα τα στοιχεία έχουν ίδια τάξη.

Η τάξη αυτή πρέπει να είναι πρώτος έστω ο p.

Είναι φανερό από το θεώρημα του Cauchy ότι η τάξη της ομάδας είναι p^{n},n\geq 1

Για n=1,2 είναι γνωστό ότι η ομάδα είναι αβελιανή.

Για τα άλλα n κάνουμε τα εξής:

Αν \left | G \right |=p^{n} τότε το κέντρο της έστω Zείναι μη τετριμμένο.

Αρα υπάρχει a\in Z,a\neq e

Αρκεί να δείξουμε ότι για f αυτομορφισμό το f(a)\in Z.

Εχουμε για g\in G

f(a)g=gf(a)\Leftrightarrow f^{-1}(f(a)g)=f^{-1}(gf(a))\Leftrightarrow af^{-1}(g)=f^{-1}(g)a

Αλλά η τελευταία ισχύει αφού a\in Z.

Αρα G=Z και τελειώσαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης