Πάλι με άρρητο(;)

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας σε κάθε περίπτωση:

"Για κάθε $\displaystyle{n\in \left \{ 2,3,4,\ldots \right \}}$ ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n+1]{n}}$ είναι άρρητος."

Φιλικά,
Μάριος

Επεξεργασία από Demetres: Αρχικά το θέμα είχα μπει στον φάκελο της Α' Λυκείου. Εξ ου και ορισμένα από τα σχόλια που ακολούθησαν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Ανυπομονώ να δω σχολική λύση.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 10:20 pm
Ανυπομονώ να δω σχολική λύση.

Και εγώ.

Για την ώρα ας βάλω ερώτημα για δύο υποπεριπτώσεις που γίνονται με ύλη Α' Λυκείου, αν και πάλι οι
πράξεις είναι αρκετές (τουλάχιστον όπως το έκανα ο ίδιος).

Δείξτε ότι ο α) $\displaystyle{ \sqrt 3 - \sqrt [3] 2}$ και ο β) $\displaystyle{ \sqrt [3] 4 - \sqrt [4] 3}$
είναι άρρητοι.

Σταμ. Γλάρος · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 08, 2018 4:56 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2018 10:20 pm
Ανυπομονώ να δω σχολική λύση.
Και εγώ.

Για την ώρα ας βάλω ερώτημα για δύο υποπεριπτώσεις που γίνονται με ύλη Α' Λυκείου, αν και πάλι οι
πράξεις είναι αρκετές (τουλάχιστον όπως το έκανα ο ίδιος).

Δείξτε ότι ο α) $\displaystyle{ \sqrt 3 - \sqrt [3] 2}$ και ο β) $\displaystyle{ \sqrt [3] 4 - \sqrt [4] 3}$
είναι άρρητοι.

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια, εκτός φακέλλου για την πρώτη ...
Ξεκινάω με την Άσκηση 18 σελ. 27 του βιβλίου: Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός του Michael Spivak από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2007, 10η Έκδοση σε μετάφραση του Απόστολου Γιαννόπουλου και επιστημονική επιμέλεια των Δημήτρη Καραγιαννάκη, Μιχάλη Λάμπρου.
Αποδείξτε ότι, αν ο

ικανοποιεί την
$x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...+ a_o = 0$ (1) ,
για κάποιους ακέραιους $a_{n-1} , ... , a_o$ τότε ο

είναι άρρητος ,
εκτός αν ο

είναι ακέραιος.
Έστω $x=\dfrac{p}{q}$ με p, q

πρώτοι μεταξύ τους.
Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε : $\dfrac{p^n}{q^n}+ a_{n-1}\cdot \dfrac{p^{n-1}}{q^{n-1}} + ...+ a_{1}\cdot \dfrac{p}{q} + a_o =0$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $p^n+ a_{n-1}p^{n-1}q + ...+ a_{1}p q^{n-1} + a_o q^n=0$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $q \left ( a_{n-1}p^{n-1} + ...+ a_{1}p q^{n-2} + a_o q^{n-1} \right )= -p^n$
Άρα q|p^n

.
Έστω τώρα ότι $q\neq \pm 1$ . Τότε θα υπάρχει

: πρώτος ώστε k | q

(2) .
Μπορεί να ισχύει και k=q

, αν

πρώτος.
Τότε από γνωστό θεώρημα (πχ. Βλ. Μαθηματικά Β΄Λυκείου Κατεύθυνσης , έχω την έκδοση 2014) ισχύει ότι και
k | p^n

$\Rightarrow$ k|p

(3) .
Οι (2) και (3) μας οδηγούν σε άτοπο.
Άρα αποδείξαμε ότι ο

είναι ακέραιος ή άρρητος.

Με βάση την παραπάνω πρόταση ο στόχος τώρα είναι να φτιάξω ένα πολυώνυμο ακεραίων συντελεστών, το οποίο
θα έχει ρίζα τον $x = \displaystyle{ \sqrt 3 - \sqrt [3] 2}$ .
Στο δεύτερο υποερώτημα της ίδιας άσκησης με το ερώτημα αυτό ο Spivak υποδεικνύει να υπολογίσουμε τις πρώτες 6 δυνάμεις του $x= 3^{\frac{3}{6}} - 2^{\frac{2}{6}}$ .
Έτσι προκύπτει ένα σύστημα 6 εξισώσεων με αγνώστους τους συντελεστές ενός πολυωνύμου 6ου βαθμού !
Πράξεις φοβερές...
Όμως αξίζει τον κόπο να ασχοληθούμε με ένα τέχνασμα που κάνει στο βιβλίο:
ANSWER BOOK FOR CALCULUS, Third Edition, Michael Spivak, Publish or Perish, Inc. Houston , Texas.
Ο

είναι ρίζα της εξίσωσης : $\left [\left ( x-\sqrt{3} \right )^3+2 \right ]\cdot \left [\left ( x+\sqrt{3} \right )^3+2 \right ]=0$ .
Κάνοντας τις πράξεις ισοδυνάμως, καταλήγουμε στο παρακάτω πολυώνυμο ακεραίων συντελεστών:
x^6 -9x^4 +4x^3+ 27x^2 +36x-23=0

.
Εύκολα αποδεικνύουμε ότι

δεν είναι ακέραιος διότι είναι : $1,7< \sqrt{3}< 1,8$ (4)
και $1,2<\sqrt[3]{2}<1,3\Rightarrow -1,3<- \sqrt[3]{2}<-1,2$ (5)
Από (4),(5) συμπεραίνουμε ότι : 0,4<x<0,6

.
Συνεπώς ο

δεν είναι ακέραιος.
Επομένως από την παραπάνω πρόταση είναι άρρητος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#5

Σταμάτη, το πρώτο γίνεται εύκολα και εντός φακέλου:

Αν $\displaystyle{ \sqrt 3 - \sqrt [3] 2 = p }$ ρητός, τότε $\displaystyle{ \sqrt [3] 2}= \sqrt 3 -p$ . Υψώνοντας στον κύβο είναι

$\displaystyle{ 2= 3\sqrt 3 - 9p + 3\sqrt 3 p^2- p^3}$ , άρα $\displaystyle{ 2+ 9p + p^3= (3+3 p^2)\sqrt 3 }$ . Άτοπο από την αρρητότητα του $\sqrt 3$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 4:43 pm
Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας σε κάθε περίπτωση:

"Για κάθε $\displaystyle{n\in \left \{ 2,3,4,\ldots \right \}}$ ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n+1]{n}}$ είναι άρρητος."

Φιλικά,
Μάριος

Μάριε καλό είναι να μας πεις την άποψη σου.
Δηλαδή έχεις λύση χωρίς θεωρία Σωμάτων η την πάτησες.
Μας βλέπουν και μαθητές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 4:43 pm
Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας σε κάθε περίπτωση:

"Για κάθε $\displaystyle{n\in \left \{ 2,3,4,\ldots \right \}}$ ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n+1]{n}}$ είναι άρρητος."

Φιλικά,
Μάριος

Βάζω λύση πολύ μακριά εκτός φακέλου.

Τα στοιχεία που χρειάζονται βρίσκονται στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_integer

Επειδή οι αριθμοί $\sqrt[n]{n+1},\sqrt[n+1]{n}}$ είναι αλγεβρικοί ακέραιοι και

o αριθμός $a=\displaystyle{\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n+1]{n}}$ είναι αλγεβρικός ακέραιος.

Αφου είναι αλγεβρικός ακέραιος είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές με μεγιστοβάθμιο
συντελεστή

Αρα αν είναι ρητός θα είναι ακέραιος.
(άσκηση

σελ193 στις Ασκήσεις Επανάληψης Δ ομάδας στο βιβλίο Β Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ)

Αρκεί να δείξουμε ότι 0<a<1

και θα έχουμε ΑΤΟΠΟ

Είναι $\sqrt[n+1]{n}<\sqrt[n]{n+1}\Leftrightarrow n^{n}< (n+1)^{n+1}$
που ισχύει.

Επίσης $\sqrt[n]{n+1}< 1+\sqrt[n+1]{n}\Leftrightarrow n+1< (1+\sqrt[n+1]{n})^{n}$

που ισχύει αφού $(1+\sqrt[n+1]{n})^{n}> 1+n\sqrt[n+1]{n}> n+1$

Αρα κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι ρητός

M.S.Vovos · #8

Η άσκηση είναι ΤΕΛΕΙΩΣ εκτός φακέλου. Το είδα τώρα τις παρατηρήσεις του Σταύρου και είδα την λύση μου. Έχω κάνει μεγάλη πατάτα. Πήγα να δουλέψω με επαγωγή αλλά τελικά έχω κάνει ένα χοντρότατο λάθος... Σταύρο υπάρχει κάποιος τρόπος να το σώσουμε ώστε να γίνει σχολική η άσκηση;

Υ.Γ. Έχω να μπω mathematica πολύ καιρό λόγω εξεταστικής. Αυτή η πραγματική ανάλυση με έχει εξουθενώσει...

#9

Δεν νομίζω να σώζεται. Το είχα σκεφτεί και εγώ χωρίς όμως αποτέλεσμα. Το μεταφέρω λοιπόν στον φάκελο ΑΕΙ - 'Αλγεβρα.

Πάλι με άρρητο(;)

Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Re: Πάλι με άρρητο(;)

Μέλη σε σύνδεση