Νιοστή δύναμη πίνακα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Νιοστή δύναμη πίνακα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 18, 2018 10:54 am

Έστω \nu \geq 2 φυσικός αριθμός. Να υπολογιστεί η παρακάτω δύναμη:

\displaystyle{\mathcal{P} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^\nu}
Πρέπει να είναι γνωστή άσκηση η παραπάνω.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 18, 2018 11:23 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 18, 2018 10:54 am
Έστω \nu \geq 2 φυσικός αριθμός. Να υπολογιστεί η παρακάτω δύναμη:

\displaystyle{\mathcal{P} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^\nu}
Πρέπει να είναι γνωστή άσκηση η παραπάνω.
.
Ναι, είναι πάρα πολλή γνωστή άσκηση και υπάρχει παρόμοια σε όλα τα βιβλία Γραμμικής Άλγεβρας. Η (μία από τις δύο στάνταρ) μεθοδολογία της είναι να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα. Δηλαδή αν A ο δοθείς, τότε υπάρχει D διαγώνιος και T αντιστρέψιμος με A=TDT^{-1}. Είναι τότε (άμεσο) A^n=TD^nT^{-1} και ο D^n είναι διαγώνιος με τα στοιχεία του τα ίδια με του D αλλά υψωμένα στην n.

H διαγωνοπίηση γίνεται με εύρεση ιδιοτιμών και λοιπά. Στην περίπτωσή μας είναι

\displaystyle{\displaystyle \bigl(\begin{smallmatrix} 
 1&1 \\  
 1&0  
\end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} 
 c&-1 \\  
1& c 
\end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} 
c & 0\\  
 0& -1/c 
\end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} 
 c&-1 \\  
1& c 
\end{smallmatrix}\bigr)^{-1}}

όπου c ρίζα της x^2-x-1=0.

Άλλος στράνταρ τρόπος είναι να γράψουμε και μετά να επιλύσουμε την γραμμική αναδρομική σχέση που ικανοποιούν οι όροι του A^n.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 18, 2018 11:28 am

Ωραία.. συμπληρώνω με το αποτέλεσμα:
\displaystyle{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}} όπου F_n ο n - οστός Fibonacci.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6091
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Φεβ 17, 2018 7:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 18, 2018 11:28 am
Ωραία.. συμπληρώνω με το αποτέλεσμα:
\displaystyle{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}} όπου F_n ο n - οστός Fibonacci.
Ωραίο είναι ότι αν εξισώσουμε τις ορίζουσες προκύπτει αμέσως η ταυτότητα Cassini (αυτού που στείλαμε στον Κρόνο!)

\displaystyle{\boxed{F_{n-1}F_{n+1}-F_n ^2 =(-1)^n}}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 17, 2018 7:52 pm

matha έγραψε:
Σάβ Φεβ 17, 2018 7:39 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 18, 2018 11:28 am
Ωραία.. συμπληρώνω με το αποτέλεσμα:
\displaystyle{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}} όπου F_n ο n - οστός Fibonacci.
Ωραίο είναι ότι αν εξισώσουμε τις ορίζουσες προκύπτει αμέσως η ταυτότητα Cassini (αυτού που στείλαμε στον Κρόνο!)

\displaystyle{\boxed{F_{n-1}F_{n+1}-F_n ^2 =(-1)^n}}
:clap2: :clap2:
Ενδιαφέρον !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης