Νιοστή δύναμη πίνακα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\nu \geq 2$ φυσικός αριθμός. Να υπολογιστεί η παρακάτω δύναμη:

$\displaystyle{\mathcal{P} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^\nu}$
Πρέπει να είναι γνωστή άσκηση η παραπάνω.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 10:54 am
Έστω $\nu \geq 2$ φυσικός αριθμός. Να υπολογιστεί η παρακάτω δύναμη:

$\displaystyle{\mathcal{P} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^\nu}$
Πρέπει να είναι γνωστή άσκηση η παραπάνω.

.
Ναι, είναι πάρα πολλή γνωστή άσκηση και υπάρχει παρόμοια σε όλα τα βιβλία Γραμμικής Άλγεβρας. Η (μία από τις δύο στάνταρ) μεθοδολογία της είναι να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα. Δηλαδή αν

ο δοθείς, τότε υπάρχει

διαγώνιος και

αντιστρέψιμος με $A=TDT^{-1}$ . Είναι τότε (άμεσο) $A^n=TD^nT^{-1}$ και ο D^n

είναι διαγώνιος με τα στοιχεία του τα ίδια με του

αλλά υψωμένα στην

.

H διαγωνοπίηση γίνεται με εύρεση ιδιοτιμών και λοιπά. Στην περίπτωσή μας είναι

$\displaystyle{\displaystyle \bigl(\begin{smallmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} c&-1 \\ 1& c \end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} c & 0\\ 0& -1/c \end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} c&-1 \\ 1& c \end{smallmatrix}\bigr)^{-1}}$

όπου

ρίζα της

.

Άλλος στράνταρ τρόπος είναι να γράψουμε και μετά να επιλύσουμε την γραμμική αναδρομική σχέση που ικανοποιούν οι όροι του A^n

.

Tolaso J Kos · #3

Ωραία.. συμπληρώνω με το αποτέλεσμα:
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}}$ όπου F_n

ο

- οστός Fibonacci.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 11:28 am
Ωραία.. συμπληρώνω με το αποτέλεσμα:
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}}$ όπου ο - οστός Fibonacci.

Ωραίο είναι ότι αν εξισώσουμε τις ορίζουσες προκύπτει αμέσως η ταυτότητα Cassini (αυτού που στείλαμε στον Κρόνο!)

$\displaystyle{\boxed{F_{n-1}F_{n+1}-F_n ^2 =(-1)^n}}$

Tolaso J Kos · #5

matha έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 7:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 11:28 am
Ωραία.. συμπληρώνω με το αποτέλεσμα:
$\displaystyle{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}}$ όπου ο - οστός Fibonacci.
Ωραίο είναι ότι αν εξισώσουμε τις ορίζουσες προκύπτει αμέσως η ταυτότητα Cassini (αυτού που στείλαμε στον Κρόνο!)

$\displaystyle{\boxed{F_{n-1}F_{n+1}-F_n ^2 =(-1)^n}}$

Ενδιαφέρον !!

Νιοστή δύναμη πίνακα

Νιοστή δύναμη πίνακα

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

Re: Νιοστή δύναμη πίνακα

Μέλη σε σύνδεση