Σελίδα 1 από 1
Ομομορφισμός ομάδων
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
από Tolaso J Kos
Έστω
ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
- ο πυρήνας είναι άπειρος.
- αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 19, 2018 8:22 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
Έστω
ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
- ο πυρήνας είναι άπειρος.
- αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Κάνω το i
Στην ομάδα
εκτός του ουδετέρου το μόνο στοιχείο με πεπερασμένη τάξη είναι το
που έχει τάξη
Στην ομάδα
υπάρχουν άπειρα στοιχεία με πεπερασμένη τάξη.
Συγκεκριμένα για
πρώτο τα
έχουν τάξη
.
Για διαφορετικούς πρώτους είναι διαφορετικά οπότε είναι άπειρα.
Ο ομομορφισμός τα στέλνει στο ουδέτερο.
(η τάξη της εικόνας ενός στοιχείου διαιρεί την τάξη του)
Αρα ο πυρήνας είναι άπειρος.
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 19, 2018 10:38 pm
από Mihalis_Lambrou
Δεν ξέρω την απάντηση στο ii, αλλά στην προσπάθειά μου να το απαντήσω πέφτω στην εξής
σχετική ερώτηση, ούτε της οποίας ξέρω την απάντηση:
Πέρα από τους ομομορφισμούς
, υπάρχουν άλλοι;
Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 19, 2018 10:45 pm
από Tolaso J Kos
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιαν 19, 2018 10:38 pm
Πέρα από τους ομομορφισμούς
, υπάρχουν άλλοι;
Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.
Ναι, υπάρχουν αλλά είναι δύσκολο να περιγραφούν.
Πάντως οι μόνοι συνεχείς αυτομορφισμοί είναι οι παραπάνω της μορφής δηλ.
.
Η απάντηση στο ερώτημα είναι θετική. Ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος.
Το θέμα έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον όπως και ενδιαφέρουσες προεκτάσεις. Προς το παρόν δε γράφω κάτι άλλο.
Re: Ομομορφισμός ομάδων
Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 23, 2018 8:25 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
Έστω
ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
- ο πυρήνας είναι άπειρος.
- αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Απαντώ στο ii)
Η απάντηση είναι ότι μπορεί ο πυρήνας μπορεί να είναι αριθμήσιμος η υπεραριθμήσιμος.
Είναι εύκολο να δούμε ότι αν
ομομορφισμός
τότε μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε έναν νέο
ομομορφισμό.
Θα περιγράψουμε όλους αυτούς τους ομομορφισμούς.
Με βάση το
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group
έχουμε
Είναι εύκολο να δούμε ότι
(η
είναι ο ισομορφισμός.)
Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς
Επειδή τα στοιχεία του
έχουν πεπερασμένη τάξη ενώ
της
άπειρη τάξη όλα τα στοιχεία αυτά είναι στον πυρήνα.
Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς
Αυτοί έχουν την εξής μορφή.
Αν
Hamel βάση του
όπου
υπεραριθμήσιμο
και
στοιχεία του
υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός με
Διαλέγοντας τα
κατάλληλα μπορούμε να έχουμε πυρήνα αριθμήσιμο η υπεραριθμήσιμο
οπότε έχουμε το ζητούμενο.