Ομομορφισμός ομάδων

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3413
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ομομορφισμός ομάδων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm

Έστω f:\mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^* ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
  1. ο πυρήνας είναι άπειρος.
  2. αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ομομορφισμός ομάδων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 19, 2018 8:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
Έστω f:\mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^* ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
  1. ο πυρήνας είναι άπειρος.
  2. αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .

Κάνω το i
Στην ομάδα \mathbb{R}^{*} εκτός του ουδετέρου το μόνο στοιχείο με πεπερασμένη τάξη είναι το -1
που έχει τάξη 2

Στην ομάδα\mathbb{C}^{*} υπάρχουν άπειρα στοιχεία με πεπερασμένη τάξη.
Συγκεκριμένα για p>2 πρώτο τα \exp(\frac{2\pi ik}{p}),k=1,2,3,...,p-1
έχουν τάξη p.

Για διαφορετικούς πρώτους είναι διαφορετικά οπότε είναι άπειρα.

Ο ομομορφισμός τα στέλνει στο ουδέτερο.
(η τάξη της εικόνας ενός στοιχείου διαιρεί την τάξη του)
Αρα ο πυρήνας είναι άπειρος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10173
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ομομορφισμός ομάδων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 19, 2018 10:38 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιαν 19, 2018 8:22 pm

Κάνω το i
Δεν ξέρω την απάντηση στο ii, αλλά στην προσπάθειά μου να το απαντήσω πέφτω στην εξής
σχετική ερώτηση, ούτε της οποίας ξέρω την απάντηση:

Πέρα από τους ομομορφισμούς h_t: \mathbb C ^* \to \mathbb R^*, \, h_t(z)= |z|^t, υπάρχουν άλλοι;

Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3413
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ομομορφισμός ομάδων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 19, 2018 10:45 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 19, 2018 10:38 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιαν 19, 2018 8:22 pm

Κάνω το i
Πέρα από τους ομομορφισμούς h_t: \mathbb C ^* \to \mathbb R^*, \, h_t(z)= |z|^t, υπάρχουν άλλοι;

Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.
Ναι, υπάρχουν αλλά είναι δύσκολο να περιγραφούν. Πάντως οι μόνοι συνεχείς αυτομορφισμοί είναι οι παραπάνω της μορφής δηλ. z \mapsto |z|^\alpha.

Η απάντηση στο ερώτημα είναι θετική. Ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος.

Το θέμα έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον όπως και ενδιαφέρουσες προεκτάσεις. Προς το παρόν δε γράφω κάτι άλλο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ομομορφισμός ομάδων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 23, 2018 8:25 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
Έστω f:\mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^* ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:
  1. ο πυρήνας είναι άπειρος.
  2. αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .
Απαντώ στο ii)

Η απάντηση είναι ότι μπορεί ο πυρήνας μπορεί να είναι αριθμήσιμος η υπεραριθμήσιμος.

Είναι εύκολο να δούμε ότι αν f:\mathbb{C}^{*}\rightarrow \mathbb{R}^{*} ομομορφισμός

τότε είναι και ο f:\mathbb{C}^{*}\rightarrow \mathbb{R}^{+}

Θα περιγράψουμε όλους αυτούς τους ομομορφισμούς.

Με βάση το

https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group

έχουμε
\mathbb{C}^{*}\approx \mathbb{R}\times \mathbb{Q}/\mathbb{Z}

Είναι εύκολο να δούμε ότι \mathbb{R}^{+}\approx \mathbb{R}
ln είναι ο ισομορφισμός.)

\mathbb{R}=(\mathbb{R},+),\mathbb{R}^{+}=(\mathbb{R}^{+},.)

Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς f:\mathbb{R}\times \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}

Επειδή τα στοιχεία του \mathbb{Q}/\mathbb{Z} έχουν πεπερασμένη τάξη ενώ

της (\mathbb{R},+) άπειρη τάξη όλα τα στοιχεία αυτά είναι στον πυρήνα.

Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

Αυτοί έχουν την εξής μορφή.

Αν (x_{i})_{i\in I} Hamel βάση του \mathbb{R}όπου I υπεραριθμήσιμο

και (y_{i})_{i\in I} στοιχεία του \mathbb{R}

υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός με g(x_{i})=y_{i}

Διαλέγοντας τα y_{i} κατάλληλα μπορούμε να έχουμε πυρήνα αριθμήσιμο η υπεραριθμήσιμο
οπότε έχουμε το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης