Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 04, 2018 2:29 pm

Μου μεταφέρθηκε ( τηλεφωνικώς ) η παρακάτω άσκηση... δεν την έχω λύσει ούτε τη προσπάθησα ... Τη δίδω όμως εδώ.

Έστω \mathcal{G} ομάδα και \alpha, \beta \in \mathcal{G} τέτοια ώστε \alpha^{-1} \beta^2 \alpha = \beta^3 και \beta^{-1} \alpha^2 \beta = \alpha^3. Δείξατε ότι τα \alpha, \beta είναι τα μοναδιαία στοιχεία.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7852
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μαρ 05, 2018 12:11 pm

Απαντάω για την περίπτωση όπου η G είναι πεπερασμένη ομάδα.

Έστω ότι το b έχει άρτια τάξη, έστω 2k. Τότε b^{3k} = (a^{-1}b^2a)^k = (a^{-1}b^{2k}a) = 1. Άρα b^k = 1, δηλαδή το b έχει τάξη k. Αυτό είναι αδύνατο. Άρα το b έχει περιττή τάξη, έστω 2k+1. Ομοίως και το a έχει περιττή τάξη, έστω 2r+1.

Τότε \displaystyle  a^{-1}ba = a^{-1}b^{2k+2}a = (a^{-1}b^2a)^{k+1} = b^{3k+3} = b^{k+2}

Δηλαδή ba = ab^{k+2} και ομοίως ab = ba^{r+2}.

\displaystyle  ba = ab^{k+2} = ba^{r+2}b^{k+1} = ba^{r+1}ba^{r+2}b^{k+1} = \cdots = b^2a^{(r+2)^2}b^{k+1} = \cdots = b^{k+2}a^m

για κάποιο φυσικό m. Τότε b^{k+1}a^{m-1}=1, άρα b^{k+1} = a^{1-m} και b = b^{2k+2} = a^{2-2m}. Δηλαδή το b είναι δύναμη του a και άρα αντιμετατίθεται με το a.

Τα πράγματα τώρα είναι απλά αφού οι δύο εξισώσεις γίνονται b^2=b^3 και a^2=a^3 που δείχνουν ότι τα a,b είναι ταυτοτικά.

Δεν δοκίμασα την περίπτωση όπου η G δεν είναι πεπερασμένη. Είμαστε σίγουροι ότι ισχύει;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 05, 2018 2:48 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Μαρ 05, 2018 12:11 pm
Δεν δοκίμασα την περίπτωση όπου η G δεν είναι πεπερασμένη. Είμαστε σίγουροι ότι ισχύει;
Δημήτρη δε γνωρίζω ... η άσκηση μου μεταφέρθηκε έτσι !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης