Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

Tolaso J Kos · #1

Μου μεταφέρθηκε ( τηλεφωνικώς ) η παρακάτω άσκηση... δεν την έχω λύσει ούτε τη προσπάθησα ... Τη δίδω όμως εδώ.

Έστω $\mathcal{G}$ ομάδα και $\alpha, \beta \in \mathcal{G}$ τέτοια ώστε $\alpha^{-1} \beta^2 \alpha = \beta^3$ και $\beta^{-1} \alpha^2 \beta = \alpha^3$ . Δείξατε ότι τα $\alpha, \beta$ είναι τα μοναδιαία στοιχεία.

#2

Απαντάω για την περίπτωση όπου η

είναι πεπερασμένη ομάδα.

Έστω ότι το

έχει άρτια τάξη, έστω

. Τότε $b^{3k} = (a^{-1}b^2a)^k = (a^{-1}b^{2k}a) = 1$ . Άρα b^k = 1

, δηλαδή το

έχει τάξη

. Αυτό είναι αδύνατο. Άρα το

έχει περιττή τάξη, έστω 2k+1

. Ομοίως και το

έχει περιττή τάξη, έστω 2r+1

.

Τότε $\displaystyle a^{-1}ba = a^{-1}b^{2k+2}a = (a^{-1}b^2a)^{k+1} = b^{3k+3} = b^{k+2}$

Δηλαδή $ba = ab^{k+2}$ και ομοίως $ab = ba^{r+2}$ .

$\displaystyle ba = ab^{k+2} = ba^{r+2}b^{k+1} = ba^{r+1}ba^{r+2}b^{k+1} = \cdots = b^2a^{(r+2)^2}b^{k+1} = \cdots = b^{k+2}a^m$

για κάποιο φυσικό

. Τότε $b^{k+1}a^{m-1}=1$ , άρα $b^{k+1} = a^{1-m}$ και $b = b^{2k+2} = a^{2-2m}$ . Δηλαδή το

είναι δύναμη του

και άρα αντιμετατίθεται με το

.

Τα πράγματα τώρα είναι απλά αφού οι δύο εξισώσεις γίνονται b^2=b^3

και

που δείχνουν ότι τα a,b

είναι ταυτοτικά.

Δεν δοκίμασα την περίπτωση όπου η

δεν είναι πεπερασμένη. Είμαστε σίγουροι ότι ισχύει;

Tolaso J Kos · #3

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 05, 2018 12:11 pm
Δεν δοκίμασα την περίπτωση όπου η δεν είναι πεπερασμένη. Είμαστε σίγουροι ότι ισχύει;

Δημήτρη δε γνωρίζω ... η άσκηση μου μεταφέρθηκε έτσι !

Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

Re: Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

Re: Ομάδα και ταυτοτικό στοιχείο

Μέλη σε σύνδεση