Ανισότητα με πίνακα
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα με πίνακα
Έστω ένας μιγαδικός πίνακας οι ιδιοτιμές του οποίου έχουν απόλυτη τιμή το πολύ . Να δειχθεί ότι:
όπου για κάθε πίνακα και για κάθε μιγαδικό διάνυσμα .
Άνευ λύσης.
όπου για κάθε πίνακα και για κάθε μιγαδικό διάνυσμα .
Άνευ λύσης.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 76
- Εγγραφή: Σάβ Μάιος 04, 2013 1:35 pm
Re: Ανισότητα με πίνακα
Καλησπέρα κ.Τόλη, η άσκηση αυτή έχει προταθεί και σαν θέμα στον IMC.
Για τη λύση μας χρειάζεται η ιδιότητα της συγκεκριμένης νόρμας, όπως και η τριγωνική ανισότητα .
Πράγματι αν τότε η ζητούμενη ανισότητα είναι προφανής. Διαφορετικά θα έχουμε .
Από το θεώρημα Cayley-Hamilton γνωρίζουμε ότι , όπου είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του .
Γράφουμε λοιπόν .
Συνεπώς, βρίσκουμε . Επιπλέον από τους τύπους Vieta και από το δεδομένο ότι οι ιδιοτιμές έχουν μέτρο μικρότερο της μονάδας βρίσκουμε , δηλαδή μπορούμε να
γράψουμε . Μένει να δείξουμε ότι . Η αριστερή ποσότητα, όμως έχει μόνο αρνητικές δυνάμεις της νόρμας , οπότε είναι φθίνουσα και παίρνουμε
, όπως επιθυμούσαμε.
Αξίζει να σημειωθεί ότι δεν χρησιμποιήσαμε τον ορισμό της νόρμας που μας δίνεται. Η άσκηση θα λυνόταν ομοίως αν είχαμε κάποια άλλη νόρμα, η οποία ικανοποιεί την πολλαπλασιαστική ανισότητα που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. (δεν είμαι σίγουρος ποιες νόρμες την ικανοποιούν)
Η λύση που έδωσα παραπάνω είναι ίδια με την official. Αυτή βρίσκεται στο παρακάτω link μαζί με μία ισχυρότερη έκδοση της ανισότητας.
http://www.imc-math.org.uk/imc2016/imc2 ... utions.pdf
Για τη λύση μας χρειάζεται η ιδιότητα της συγκεκριμένης νόρμας, όπως και η τριγωνική ανισότητα .
Πράγματι αν τότε η ζητούμενη ανισότητα είναι προφανής. Διαφορετικά θα έχουμε .
Από το θεώρημα Cayley-Hamilton γνωρίζουμε ότι , όπου είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του .
Γράφουμε λοιπόν .
Συνεπώς, βρίσκουμε . Επιπλέον από τους τύπους Vieta και από το δεδομένο ότι οι ιδιοτιμές έχουν μέτρο μικρότερο της μονάδας βρίσκουμε , δηλαδή μπορούμε να
γράψουμε . Μένει να δείξουμε ότι . Η αριστερή ποσότητα, όμως έχει μόνο αρνητικές δυνάμεις της νόρμας , οπότε είναι φθίνουσα και παίρνουμε
, όπως επιθυμούσαμε.
Αξίζει να σημειωθεί ότι δεν χρησιμποιήσαμε τον ορισμό της νόρμας που μας δίνεται. Η άσκηση θα λυνόταν ομοίως αν είχαμε κάποια άλλη νόρμα, η οποία ικανοποιεί την πολλαπλασιαστική ανισότητα που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. (δεν είμαι σίγουρος ποιες νόρμες την ικανοποιούν)
Η λύση που έδωσα παραπάνω είναι ίδια με την official. Αυτή βρίσκεται στο παρακάτω link μαζί με μία ισχυρότερη έκδοση της ανισότητας.
http://www.imc-math.org.uk/imc2016/imc2 ... utions.pdf
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες