Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα
Συντονιστής: Demetres
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω θετικὸς πραγματικός, ὥστε γιὰ κάποιο , οἱ ἀριθμοὶ
νὰ εἶναι ρητοί. Δείξατε ὅτι .
νὰ εἶναι ρητοί. Δείξατε ὅτι .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα
Έστω και .
Οι ρίζες του πολυωνύμου είναι και αντίστοιχα του είναι .
Προφανώς τα δύο σύνολα ριζών έχουν το πολύ δύο κοινά στοιχεία (τα ) και έτσι το ανάγωγο πολυώνυμο του (αλγεβρικού) έχει βαθμό το πολύ . Αν ο βαθμός του είναι τότε και το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Αν είναι τότε το ανάγωγο πολύωνυμο είναι , οπότε .
Οι ρίζες του πολυωνύμου είναι και αντίστοιχα του είναι .
Προφανώς τα δύο σύνολα ριζών έχουν το πολύ δύο κοινά στοιχεία (τα ) και έτσι το ανάγωγο πολυώνυμο του (αλγεβρικού) έχει βαθμό το πολύ . Αν ο βαθμός του είναι τότε και το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Αν είναι τότε το ανάγωγο πολύωνυμο είναι , οπότε .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες