ν x ν ορίζουσα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3520
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

ν x ν ορίζουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 14, 2018 8:43 pm

Να υπολογιστεί η τιμή της \nu \times \nu ορίζουσας:

\displaystyle{\mathcal{D} = \begin{vmatrix} 
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\  
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\  
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
 1& 1 & \cdots & 1+a_n 
\end{vmatrix}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ν x ν ορίζουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Αύγ 15, 2018 5:57 am

Μια όχι ολοκληρωμένη επίλυση (θα επανέλθω, αν δεν το κάνει κάποιος άλλος) :

\begin{aligned} 
D &= \left|{\begin{array}{ccccccc} 
	1+a_1 & 1     & 1 &\cdots &1 & 1 & 1\\  
	1     & 1+a_2 & 1 &  \cdots & 1 & 1 & 1\\  
	1     & 1     & 1+a_3 &\cdots & 1 & 1 & 1\\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n-2} & 1 & 1\\ 
	1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n-1} & 1\\ 
	1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1+a_n 
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\stackrel{C_{i}\rightarrow C_{i}-C_{i+1}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left|{\begin{array}{ccccccc} 
	a_1   & 0     & 0 &\cdots &0 & 0 & 1\\  
	-a_2  & a_2   & 0 &  \cdots & 0 & 0 & 1\\  
	0     & -a_3  & a_3 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 
	0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 
	0 & 0 & 0 & \cdots & 0       & -a_n & 1+a_n 
	\end{array}}\right| 
\end{aligned}

\begin{aligned} 
&\stackrel{C_{n}\rightarrow \sum_{i=1}^{n} C_{i}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left|{\begin{array}{ccccccc} 
	a_1   & 0     & 0 &\cdots &0 & 0 & 1+a_1\\  
	-a_2  & a_2   & 0 &  \cdots & 0 & 0 & 1\\  
	0     & -a_3  & a_3 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 
	0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 
	0 & 0 & 0 & \cdots & 0       & -a_n & 1 
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\stackrel{\text{\gr αναπτ. 1η γρ.}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} a_1\left|{\begin{array}{ccccccc} 
	a_2   & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\  
	-a_3  & a_3 &  0& \cdots & 0 & 0 & 1\\ 
	0  & -a_4 & a_4 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 
	0 & 0 &  0 &\cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 
	0 & 0 &  0 &\cdots & 0       & -a_n & 1 
	\end{array}}\right|\,+\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\qquad(-1)^{n+1}(1+a_1)\left|{\begin{array}{ccccccc} 
	-a_2     & a_2 & 0 &\cdots &0 & 0 &0\\  
	0       &  -a_3  & a_3 & \cdots &0 & 0 & 0\\ 
	0        & 0      & -a_4 &\cdots & 0 & 0 & 0\\ 
	\vdots &\vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	0 & 0 &  0 &\cdots & -a_{n-2}  &a_{n-2} & 0 \\ 
	0 & 0 &  0 &\cdots & 0 & -a_{n-1}& a_{n-1} \\ 
	0 & 0 &  0 &\cdots & 0   & 0   & -a_n  
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,D_1+(-1)^{n+1}(1+a_1)(-1)^{n-1}\mathop{\prod}\limits_{i=2}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,D_1+(1+a_1)\mathop{\prod}\limits_{i=2}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\ldots\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
nikkru
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: ν x ν ορίζουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τετ Αύγ 15, 2018 8:13 am

grigkost έγραψε:
Τετ Αύγ 15, 2018 5:57 am
Μια όχι ολοκληρωμένη επίλυση (θα επανέλθω, αν δεν το κάνει κάποιος άλλος) :
Χρόνια πολλά στις εορτάζουσες και στους εορτάζοντες,

αντιγράφοντας την λύση του Γρηγόρη, μετά την τρίτη ορίζουσα αναπτύσσοντας ως προς την τελευταία στήλη έχουμε:

\begin{aligned} 
D &= \left|{\begin{array}{ccccccc} 
	1+a_1 & 1     & 1 &\cdots &1 & 1 & 1\\  
	1     & 1+a_2 & 1 &  \cdots & 1 & 1 & 1\\  
	1     & 1     & 1+a_3 &\cdots & 1 & 1 & 1\\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n-2} & 1 & 1\\ 
	1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n-1} & 1\\ 
	1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1+a_n 
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 
\end{aligned}

\begin{aligned} 
&\stackrel{C_{n}\rightarrow \sum_{i=1}^{n} C_{i}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left|{\begin{array}{ccccccc} 
	a_1   & 0     & 0 &\cdots &0 & 0 & 1+a_1\\  
	-a_2  & a_2   & 0 &  \cdots & 0 & 0 & 1\\  
	0     & -a_3  & a_3 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ 
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots\\  
	0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 
	0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 
	0 & 0 & 0 & \cdots & 0       & -a_n & 1 
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}}  
  \end{array}}\right| 
  \end{aligned}


 &\stackrel{\text{\gr αναπτ. τελευτ. στήλη}} {=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} \left ( -1 \right )^{n+1}\left ( 1+a_1 \right )\prod_{i=2}^{n}\left ( -a_i \right ) + \sum_{k=2}^{n} \left (  \left ( -1 \right )^{n+k} \cdot \prod_{m=1}^{m=k-1} a_m \cdot \prod_{m=k+1}^{m=n} \left (-a_m  \right ) \right ) =


= \sum_{i=1}^{n} \frac{ (\prod_{k=1}^{n} a_k   )}{a_i}+\prod_{i=1}^{n}a_i


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ν x ν ορίζουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Αύγ 15, 2018 11:11 am

ή λίγο διαφορετικά...(συνεχίζοντας την παραπάνω δημοσίευσή μου)

\begin{aligned} 
D&=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,D_1+(1+a_1)\mathop{\prod}\limits_{i=2}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,D_1+\Big(\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,a_2\,D_2+a_1\mathop{\prod}\limits_{i=3}^na_i+\Big(\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,a_2\,D_2+\Big(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=a_1\,a_2\cdots a_{n-1}\,\cancelto{1}{D_{n-1}\big.}+\Big(\frac{1}{a_{n-1}}+\ldots+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\Big(\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n-1}}+\ldots+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i 
\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\bigg(\mathop{\sum}\limits_{i=1}^n\frac{1}{a_i}+1\bigg)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ν x ν ορίζουσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 16, 2018 10:27 pm

Για κάθε I \subseteq \{1,2,\ldots,n\} κοιτάζουμε με τι συντελεστή εμφανίζεται το \displaystyle  \prod_{i \in I} a_i στο ανάπτυγμα της ορίζουσας.

Ο συντελεστής θα είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει αν αγνοήσουμε όλες τις σειρές και όλες τις στήλες με δείκτη i για κάθε i \in I.

Αυτή όμως η ορίζουσα ισούται με 0 εκτός και αν |I|=n-1 οπότε η ορίζουσα ισούται με 1. Εξαίρεση έχουμε και στην περίπτωση όπου |I|=n όπου και ο συντελεστής προφανώς ισούται με 1.

Άρα \displaystyle  D = a_1 \cdots a_n + \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} a_j


sot arm
Δημοσιεύσεις: 133
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: ν x ν ορίζουσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Παρ Αύγ 17, 2018 11:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 14, 2018 8:43 pm
Να υπολογιστεί η τιμή της \nu \times \nu ορίζουσας:

\displaystyle{\mathcal{D} = \begin{vmatrix} 
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\  
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\  
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
 1& 1 & \cdots & 1+a_n 
\end{vmatrix}}
Μιας και πιάσαμε τις ορίζουσες σήμερα, δίνω άλλη μία λύση.Πρώτα κάποιοι συμβολισμοί:
\displaystyle{C_{n}(x)=\mathcal{ \begin{vmatrix}
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 1& 1 & \cdots & 1+x
\end{vmatrix}}
Και \displaystyle{D_{n}=C_{n}(a_{n})}
η ζητούμενη ορίζουσα για n όρους.
Η C_{n}(x) είναι παραγωγίσιμη με:
\displaystyle{C_{n}'(x)=\begin{vmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\ 
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 1& 1 & \cdots & 1+x
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 
0 & 0 & \cdots  & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 1& 1 & \cdots & 1+x
\end{vmatrix}+...+\begin{vmatrix}
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}=D_{n-1}}
Πράγμα που προκύπτει αναπτύσοντας ως προς την τελευταία γραμμή.
Άρα έπεται ότι:
\displaystyle{C_{n}(x)=D_{n-1}\cdot x + c (I)}
Επίσης έχω:
\displaystyle{C_{n}(0)=\begin{vmatrix}
1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 
1 & 1+a_2 & \cdots  &1 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 1& 1 & \cdots & 1
\end{vmatrix}}
η οποία υπολογίζεται εύκολα αφαιρώντας από την πρώτη γραμμή την τελευταία, από την δεύτερη την τελευταία κ.ο.κ. βγαίνει κάτω τριγωνικός με διαγώνιο τα a_{1},a_{2},...,a_{n-1},1
Άρα C_{n}(0)=\prod_{i=1}^{n-1}a_{i}
Και από την (Ι) για x=0προκύπτει:
c=\prod_{i=1}^{n-1}a_{i}
Συνεπώς αντικαθιστώντας το c βρίσκουμε:
C_{n}(x)=D_{n-1}\cdot x + \prod_{i=1}^{n-1}a_{i} (I)
Ακόμα για x=a_{n} έπεται:
C_{n}(a_{n})=D_{n-1}\cdot a_{n} + \prod_{i=1}^{n-1}a_{i}
Η αλλιώς:
D_{n}=D_{n-1}\cdot a_{n} + \prod_{i=1}^{n-1}a_{i}
Τώρα πλέον με επαγωγή αν θέλουμε να είμαστε αυστηροί και την χρήση της παραπάνω αναδρομικής προκύπτει:
\displaystyle{D_{n}=\prod_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}\prod_{j \neq i}a_{j}}


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης