Μηδενική ορίζουσα
Συντονιστής: Demetres
Re: Μηδενική ορίζουσα
Δίνω μία απάντηση με επιφύλαξη.
Ας θεωρήσουμε την ορίζουσα σαν πολυώνυμο του .
Παρατηρούμε αρχικά ότι είναι το πολύ δευτέρου βαθμού καθότι στην δεύτερη στήλη δεν έχουμε .
Θέτοντας διαδοχικά . Προκύπτουν τα εξής:
Για αναπτύσοντας την ορίζουσα ως προς την τρίτη στήλη και με απλές πλέον πράξεις βγαίνει .
Για βλέπουμε άμεσα ότι η δεύτερη γραμμή είναι πολλαπλάσιο της πρώτης άρα πάλι
Για αναπτύσοντας ως προς την τρίτη στήλη και με απλές πράξεις
Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.
Συγχωρέστε μου που δεν γράφω όλες τις πράξεις σε Latex αλλά τις θεωρώ ρουτίνας.
Αρμενιάκος Σωτήρης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Έγραφα την ίδια ώρα με τον Σωτήρη. Ίδια ιδέα αλλά λίγο πιο μακροσκελής η λύση μου.
Η ορίζουσα είναι ένα πολυώνυμο . Παρατηρούμε ότι
Ομοίως βρίσκουμε , καθώς επίσης και . (Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε απευθείας σε υπολογισμό μίας ορίζουσας η οποία ισούται με επειδή έχει γραμμικώς εξαρτημένες στήλες.
Άρα αναγκαστικά για κάποιο πολυώνυμο .
Όμως το έχει βαθμό το πολύ . Πρέπει λοιπόν το και άρα και το να είναι ταυτοτικά ίσο με .
Η ορίζουσα είναι ένα πολυώνυμο . Παρατηρούμε ότι
Ομοίως βρίσκουμε , καθώς επίσης και . (Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε απευθείας σε υπολογισμό μίας ορίζουσας η οποία ισούται με επειδή έχει γραμμικώς εξαρτημένες στήλες.
Άρα αναγκαστικά για κάποιο πολυώνυμο .
Όμως το έχει βαθμό το πολύ . Πρέπει λοιπόν το και άρα και το να είναι ταυτοτικά ίσο με .
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Οι λύσεις σας μου αρέσουν περισσότερο από αυτήν που βρήκα -και παραθέτω- όταν μου ζητήθηκε να αποδείξω το ζητούμενο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηδενική ορίζουσα
Σωστά αλλά με μία μικρή προσθήκη: Αν ήταν ή τότε το πολυώνυμο του δεν είναι μηδέν για τρεις τιμές
του (τις ) αλλά για δύο.
Για όφελος των μαθητών συμπληρώνω ότι ότι τo θέμα διορθώνεται λέγοντας ότι αν ή τότε η ορίζουσα μηδενίζεται (απλό). Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι και . Tώρα οι είναι τρεις τιμές, και λοιπά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μηδενική ορίζουσα
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 18, 2018 12:08 amΣωστά αλλά με μία μικρή προσθήκη: Αν ήταν ή τότε το πολυώνυμο του δεν είναι μηδέν για τρεις τιμές
του (τις ) αλλά για δύο.
Για όφελος των μαθητών συμπληρώνω ότι ότι τo θέμα διορθώνεται λέγοντας ότι αν ή τότε η ορίζουσα μηδενίζεται (απλό). Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι και . Tώρα οι είναι τρεις τιμές, και λοιπά.
Αλλιώς μπορούμε να πούμε ότι οι πράξεις γίνονται στον πολυωνυμικό δακτύλιο όπου ο είναι ακέραια περιοχή.
Πλέον δεν χρειάζεται ο έλεγχος αν ή διότι το είναι ξεχωριστή μεταβλητή στον δακτύλιο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες