Μηδενική ορίζουσα

#1

Να αποδειχθεί ότι η $3\times 3$ -ορίζουσα

είναι μηδενική.

$D=\left|{\begin{array}{ccc} b\,c\,(e-d) & c\,e & b\,d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} e(b-c)(1-d)-c\,(d-e)(1-b) & e\,(1-c) & d\,(1-b) \\\noalign{\vspace{0.3cm}} (b-c)(1-d)(1-e) & (1-c)(1-e) & (1-b)(1-d) \end{array}}\right|$

sot arm · #2

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 17, 2018 2:32 am
Να αποδειχθεί ότι η $3\times 3$ -ορίζουσα είναι μηδενική.

$D=\left|{\begin{array}{ccc} b\,c\,(e-d) & c\,e & b\,d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} e(b-c)(1-d)-c\,(d-e)(1-b) & e\,(1-c) & d\,(1-b) \\\noalign{\vspace{0.3cm}} (b-c)(1-d)(1-e) & (1-c)(1-e) & (1-b)(1-d) \end{array}}\right|$

Δίνω μία απάντηση με επιφύλαξη.
Ας θεωρήσουμε την ορίζουσα σαν πολυώνυμο του

.
Παρατηρούμε αρχικά ότι είναι το πολύ δευτέρου βαθμού καθότι στην δεύτερη στήλη δεν έχουμε

.
Θέτοντας διαδοχικά b=0,b=1,b=c

. Προκύπτουν τα εξής:
Για b=0

αναπτύσοντας την ορίζουσα ως προς την τρίτη στήλη και με απλές πλέον πράξεις βγαίνει D(0)=0

.
Για

βλέπουμε άμεσα ότι η δεύτερη γραμμή είναι πολλαπλάσιο της πρώτης άρα πάλι D(c)=0

Για

αναπτύσοντας ως προς την τρίτη στήλη και με απλές πράξεις D(1)=0

Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.
Συγχωρέστε μου που δεν γράφω όλες τις πράξεις σε Latex αλλά τις θεωρώ ρουτίνας.

#3

Έγραφα την ίδια ώρα με τον Σωτήρη. Ίδια ιδέα αλλά λίγο πιο μακροσκελής η λύση μου.

Η ορίζουσα είναι ένα πολυώνυμο P(b,c,d,e)

. Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle \begin{aligned} P(0,c,d,e) &= \begin{vmatrix} 0 & ce & 0 \\ -ce(1-d) - c(d-e) & e(1-c) & d \\ -c(1-d)(1-e) & (1-c)(1-e) & 1-d \end{vmatrix} \\ &= -ce \begin{vmatrix} -cd(1-e) & d \\ -c(1-d)(1-e) & 1-d\end{vmatrix} \\ &= 0 \end{aligned}$

Ομοίως βρίσκουμε P(b,0,d,e) = P(b,c,0,e) = P(b,c,d,0) = 0

, καθώς επίσης και P(1,c,d,e)=P(b,1,d,e)=P(b,c,1,e)=P(b,c,d,1)= 1

. (Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε απευθείας σε υπολογισμό μίας $2 \times 2$ ορίζουσας η οποία ισούται με

επειδή έχει γραμμικώς εξαρτημένες στήλες.

Άρα αναγκαστικά P(b,c,d,e) = bcde(b-1)(c-1)(d-1)(e-1)Q(b,c,d,e)

για κάποιο πολυώνυμο Q(b,c,d,e)

.

Όμως το P(b,c,d,e)

έχει βαθμό το πολύ 3+2+2=7

. Πρέπει λοιπόν το

και άρα και το

να είναι ταυτοτικά ίσο με

.

#4

Οι λύσεις σας μου αρέσουν περισσότερο από αυτήν που βρήκα -και παραθέτω- όταν μου ζητήθηκε να αποδείξω το ζητούμενο.

$\begin{aligned} D&=\left|{\begin{array}{ccc} bc(e-d) & ce & bd \\\noalign{\vspace{0.3cm}} e(b-c)(1-d)-c(d-e)(1-b) & e(1-c) & d(1-b) \\\noalign{\vspace{0.3cm}} (b-c)(1-d)(1-e) & (1-c)(1-e) & (1-b)(1-d) \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} & = {\begin{array}{l} {}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} {\Gamma_2\rightarrow \Gamma_2+\Gamma_1}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} {\Gamma_3\rightarrow \Gamma_3+\Gamma_2}\end{array}}\left|{\begin{array}{ccc} bc(e-d) & ce & bd \\\noalign{\vspace{0.3cm}} eb-ebd+ecd-cd & e & d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} ec+cbd-ceb+b-bd-c & 1-c & 1-b \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} & = {\begin{array}{l} {\Sigma_1\to \Sigma_1-b(1-d)\,\Sigma_2+c(1-e)\,\Sigma_3}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} {}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} {}\end{array}}\left|{\begin{array}{ccc} 0 & ce & bd \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 0 & e & d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 0 & 1-c & 1-b \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=0\,.\end{aligned}$

#5

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 17, 2018 10:02 pm
.
Θέτοντας διαδοχικά . Προκύπτουν τα εξής:
...
Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.

Σωστά αλλά με μία μικρή προσθήκη: Αν ήταν c=0

ή

τότε το πολυώνυμο του

δεν είναι μηδέν για τρεις τιμές
του

(τις

) αλλά για δύο.

Για όφελος των μαθητών συμπληρώνω ότι ότι τo θέμα διορθώνεται λέγοντας ότι αν c=0

ή

τότε η ορίζουσα μηδενίζεται (απλό). Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι $c\ne 0$ και $c\ne 1$ . Tώρα οι 0,1,c

είναι τρεις τιμές, και λοιπά.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 18, 2018 12:08 am

sot arm έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 17, 2018 10:02 pm
.
Θέτοντας διαδοχικά . Προκύπτουν τα εξής:
...
Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.
Σωστά αλλά με μία μικρή προσθήκη: Αν ήταν ή τότε το πολυώνυμο του δεν είναι μηδέν για τρεις τιμές
του (τις ) αλλά για δύο.

Για όφελος των μαθητών συμπληρώνω ότι ότι τo θέμα διορθώνεται λέγοντας ότι αν ή τότε η ορίζουσα μηδενίζεται (απλό). Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι $c\ne 0$ και $c\ne 1$ . Tώρα οι είναι τρεις τιμές, και λοιπά.

Αλλιώς μπορούμε να πούμε ότι οι πράξεις γίνονται στον πολυωνυμικό δακτύλιο R [ b ]

όπου ο $R = \mathbb{Z}[c,d,e]$ είναι ακέραια περιοχή.

Πλέον δεν χρειάζεται ο έλεγχος αν c=0

ή

διότι το

είναι ξεχωριστή μεταβλητή στον δακτύλιο.

Μηδενική ορίζουσα

Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση