Ανισότητα ομάδων

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα ομάδων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 am

Έστω \mathcal{G} πεπερασμένη ομάδα και έστω \mathcal{H} , \mathcal{K} δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε \mathcal{H} \neq \mathcal{G} και \mathcal{K} \neq \mathcal{G}. Δείξατε ότι:

\displaystyle \left|\mathcal{H} \cup \mathcal{K} \right| \leq \frac{3}{4} \left| \mathcal{G} \right|


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα ομάδων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Αύγ 12, 2019 11:31 am

Γνωρίζουμε ότι τα [G:H] και [G:K] είναι ακέραιοι. (Θεώρημα Lagrange.) Έστω [G:H] = m και [G:K] = n. Γνωρίζουμε επίσης ότι [G:H \cap K] \leqslant [G:H][G:K] = mn. (Ισοδύναμο του [H:H \cap K] \leqslant [G:K] που είναι απλό.) Τότε:

\displaystyle  \frac{|H \cup K|}{|G|} = \frac{|H|}{|G|} + \frac{|K|}{|G|} - \frac{|H \cap K|}{|G|} \leqslant \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = 1 - \left(1 - \frac{1}{m}\right)\left(1 - \frac{1}{n}\right) \leqslant 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα ομάδων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 12, 2019 12:02 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 am
Έστω \mathcal{G} πεπερασμένη ομάδα και έστω \mathcal{H} , \mathcal{K} δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε \mathcal{H} \neq \mathcal{G} και \mathcal{K} \neq \mathcal{G}. Δείξατε ότι:

\displaystyle \left|\mathcal{H} \cup \mathcal{K} \right| \leq \frac{3}{4} \left| \mathcal{G} \right|
Θα αλλάξω τους καλλιτεχνικούς συμβολισμούς του Τόλη.
Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι το Θεώρημα Lagrange που λέει

Η τάξη (πλήθος στοιχείων) μιας υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι |H|\leq |K|

Εστω ότι |H\cap K|=m
θα είναι

|H|=mh,|K|=mk
και

|H-H\cap K|=m(h-1),|K-H\cap K|=m(k-1)

Διακρίνουμε περιπτώσεις.

i)H \subseteq K
τότε
H\cup K=K
οπότε

|H\cup K|=|K|\leq \frac{|G|}{2}\leq \frac{3}{4}|G|

ii)H\nsubseteq K

Εχουμε ότι k,h>1

Είναι
|H\cup K|=m+m(h-1)+m(k-1)(1)

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι k\geq h

Υπάρχουν δύο υποπεριπτώσεις.

1)m(k-1)\leq \frac{|G|}{4}

λόγω της (1) είναι

|H\cup K|\leq \frac{|G|}{4}+\frac{|G|}{4}+\frac{|G|}{4}=\frac{3}{4}|G|

2)m(k-1)> \frac{|G|}{4}

Θεωρούμε ένα x\in H-H\cap K
σταθερό.

Για y\in K-H\cap K τα στοιχεία xy είναι διαφορετικά μεταξύ τους και
δεν ανήκουν στο H\cup K

Αρα |G-(H\cup K)|> \frac{|G|}{4}

Aπο την τελευταία προκύπτει ότι

|H\cup K|\leq \frac{3}{4}|G|

Να σημειώσω ότι μπορούμε να βρούμε παράδειγμα στο οποίο ισχύει ισότητα.
Αρκεί να πάρουμε την quaternion group με 8 στοιχεία.

Από ότι βλέπω με πρόλαβε ο Δημήτρης με διαφορετική απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα ομάδων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Αύγ 12, 2019 1:37 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 12:02 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 am
Έστω \mathcal{G} πεπερασμένη ομάδα και έστω \mathcal{H} , \mathcal{K} δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε \mathcal{H} \neq \mathcal{G} και \mathcal{K} \neq \mathcal{G}. Δείξατε ότι:

\displaystyle \left|\mathcal{H} \cup \mathcal{K} \right| \leq \frac{3}{4} \left| \mathcal{G} \right|
Να σημειώσω ότι μπορούμε να βρούμε παράδειγμα στο οποίο ισχύει ισότητα.
Αρκεί να πάρουμε την quaternion group με 8 στοιχεία.
Ήταν το επόμενο ερώτημα που θα έθετα να βρεθεί παράδειγμα ώστε να ισχύει η ισότητα. Και η ομάδα Klein \mathcal{G}=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 με υποομάδες \mathcal{H}=\{(0,0), (1,0)\} και \mathcal{K}=\{(0,0),(0,1)\}. Τότε |\mathcal{G}|=4 και

\displaystyle |\mathcal{H} \cup \mathcal{K}|=3=\frac{3}{4}|\mathcal{G}|
Αυτό βέβαια δείχνει ότι η σταθερά \frac{3}{4} δε μπορεί να βελτιωθεί.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης