Ισόμορφες ομάδες

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3947
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ισόμορφες ομάδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 17, 2019 10:16 am

Έστω n>2 . Ορίζουμε την ομάδα:

\displaystyle{\mathcal{Q}_{2^n} = \langle x, y \mid x^2=y^{2^{n-2}} , y^{2^{n-1}} = 1, x^{-1} yx =y^{-1} \rangle}

Να δειχθεί ότι \displaystyle{\mathcal{Q}_{2^n} / \mathcal{Z} \left ( \mathcal{Q}_{2^n} \right ) \simeq \mathcal{D}_{2^{n-1}}} όπου \mathcal{D} η διεδρική ομάδα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8175
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ισόμορφες ομάδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Αύγ 18, 2019 5:49 pm

Χρησιμοποιώντας την x^{-1}yx = y^{-1} ή ισοδύναμα την yx = xy^{-1}, μπορούμε να γράψουμε κάθε στοιχείο του Q_{2^n} στη μορφή x^ry^s για r,s \in \mathbb{N}_0. Χρησιμοποιώντας το x^2 = y^{2^{n-2}} μπορούμε να υποθέσουμε ότι r\in \{0,1\}. Χρησιμοποιώντας το y^{2^{n-1}} = 1 μπορούμε να υποθέσουμε ότι s\in \{0,1,\ldots,2^{n-1}-1\}.

Επαγωγικά είναι απλό να δειχθεί ότι y^tx = xy^{-t}.

Έστω Z = Z(Q_{2^n}). Ισχυριζόμαστε ότι Z= \{1,y^{2^{n-2}}\}. Σίγουρα 1 \in Z. Επίσης, y^{2^{n-2}} \in Z αφού:

\displaystyle  y^{2^{n-2}}\left(x^ry^s\right) = xy^{-2^{n-2}}x^{r-1}y^s = xy^{2^{n-2}}x^{r-1}y^s = \cdots = x^ry^{2^{n-2}}y^s =\left(x^ry^s\right)y^{2^{n-2}}

Αν y^k \in Z (με 0 \leqslant k < 2^{n-1}), τότε xy^k = y^kx = xy^{-k} οπότε y^{2k} = 1 και άρα k = 0 ή k = 2^{n-2}.

Αν xy^k \in Z, τότε xy^{k+1} = yxy^{k} = xy^{k-1} οπότε y^2 = 1, άτοπο αφού n \geqslant 2.

Επομένως Q_{2^n}/Z = \langle x,y| x^2 = y^{2^{n-2}}=1, yx = xy^{-1} \rangle η οποία είναι η διεδρική ομάδα με 2^{n-1} στοιχεία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης