Σελίδα 1 από 1

Ύπαρξη πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 9:36 pm
από Tolaso J Kos
Έστω A ένας n \times n αντιστρέψιμος πραγματικός πίνακας. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός πίνακας B τέτοιος ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{B^k}{k!} = A} όπου B^0 = \mathbb{I}_{n \times n}.

Re: Ύπαρξη πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 19, 2019 12:21 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Re: Ύπαρξη πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 19, 2019 1:24 am
από Mihalis_Lambrou
Σταύρο, μάλλον εννοείς αυτό και τις εκεί παεαπομπές.

Ας προσθέσω ότι η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση πινάκων (ή γενικότερα, τελεστών σε χώρους Banach) είναι θέμα που το βρίσκει κανείς σε βιβλία Banach Algebras, στο κεφάλαιο Functional Calculus. Η θεωρία τους είναι κομψότατη. Δεν γνωρίζω στοιχειώδη μέθοδο. Ίδωμεν.

Re: Ύπαρξη πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 20, 2019 11:00 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 1:24 am
Σταύρο, μάλλον εννοείς αυτό και τις εκεί παεαπομπές.

Ας προσθέσω ότι η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση πινάκων (ή γενικότερα, τελεστών σε χώρους Banach) είναι θέμα που το βρίσκει κανείς σε βιβλία Banach Algebras, στο κεφάλαιο Functional Calculus. Η θεωρία τους είναι κομψότατη. Δεν γνωρίζω στοιχειώδη μέθοδο. Ίδωμεν.
Γεια Μιχάλη.
Διάβασε το παρακάτω
Στον σύνδεσμο που παρέθεσα βρίσκεται στην ουσία η λύση.
Μπορεί και να κατασκευασθεί ο πίνακας.
Αυτός που γράφεις εσύ μάλλον οδηγεί στην ύπαρξη.
Θα το αφήσω και αν δεν απαντηθεί θα γράψω τα βήματα της λύσης.
Γιατί για να γραφεί κανονικά θέλει κατεβατά και δεν έχει νόημα.

Re: Ύπαρξη πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 21, 2019 6:47 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 9:36 pm
Έστω A ένας n \times n αντιστρέψιμος πραγματικός πίνακας. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός πίνακας B τέτοιος ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{B^k}{k!} = A} όπου B^0 = \mathbb{I}_{n \times n}.
Το όριο αριστερά είναι ο πίνακας e^{B}

Ο πίνακας A δεν χρειάζεται να είναι πραγματικός.
Μπορεί να είναι μιγαδικός.
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
Αν πάμε στην παραπομπή στην General case στο Using the Jordan canonical form
τότε εκείνο που ουσιαστικά πρέπει να δείξουμε είναι το εξής:

Εστω E=(a_{ij}) πίνακας (k+1)\times (k+1)

όπου a_{i,i+1}=1 for i=1,2,..k

και τα άλλα στοιχεία του 0.

Αν \lambda \in \mathbb{C},\lambda \neq 0

και A=\lambda I+E

τότε υπάρχει πίνακας μιγαδικός B ώστε e^{B}=A



Για την απόδειξη χρειαζόμαστε το εξής:

Εστω E ο πίνακας που ορίσαμε παραπάνω.

Αν N=a_{1}E+a_{2}E^{2}+....+a_{k}E^{k}
τότε
e^{N}=I+a_{1}E+(a_{2}+f_{1}(a_{1}))E^{2}+......+(a_{k}+f_{k-1}(a_{1},a_{2},..a_{k-1}))E^{k}

όπου τα f_i είναι πολυώνυμα.

Με βάση το παραπάνω για c\in \mathbb{C}
μπορούμε να βρούμε πίνακα N ώστε
e^{N}=I+cE

Τώρα μπορούμε να ολοκληρώσουμε την απόδειξη

Εστω B=\log \lambda I+N και c= 1/\lambda
(μιγαδικός λογάριθμος γενικά)
είναι

e^{B}=e^{(\log \lambda) I}e^{N}=\lambda I(I+cE)=\lambda I+E=A