Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3948
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 23, 2019 1:58 am

Αν C,D είναι n \times n συμμετρικοί πραγματικοί πίνακες γράφουμε C \geq D αν και μόνο αν ο πίνακας C-D είναι μη αρνητικά ορισμένος. Να εξεταστεί αν

\displaystyle{\exp \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \leq \frac{\exp A +\exp B}{2}}
για κάθε ζεύγος 2 \times 2 συμμετρικών πραγματικών πινάκων A,B τέτοιο ώστε AB=BA.

Δεν έχω απάντηση!!- Ευχαριστώ Σταύρο


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2511
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 24, 2019 1:11 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Αύγ 23, 2019 1:58 am
Αν C,D είναι n \times n συμμετρικοί πραγματικοί πίνακες γράφουμε C \geq D αν και μόνο αν ο πίνακας C-D είναι μη αρνητικά ορισμένος. Να εξεταστεί αν

\displaystyle{\exp \left ( \frac{A+B}{2} \right ) \leq \frac{\exp A +\exp B}{2}}
για κάθε ζεύγος 2 \times 2 συμμετρικών πραγματικών πινάκων A,B τέτοιο ώστε AB=BA.

Δεν έχω απάντηση!!- Ευχαριστώ Σταύρο
Χρησιμοποιώντας την σχέση AB=BA από τις ιδιότητες της εκθετικής έχουμε

\displaystyle exp{\frac{A+B}{2}}=exp{\frac{A}{2}}exp{\frac{B}{2}}

Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε

\displaystyle \frac{\exp A +\exp B}{2}-\exp \left ( \frac{A+B}{2} \right )=\frac{1}{2}(exp {\frac{A}{2}}-exp {\frac{B}{2}})^{2}

Θέτουμε \displaystyle M= exp {\frac{A}{2}}-exp {\frac{B}{2}}

πρέπει να αποδείξουμε ότι M^{2}\geq 0

Αλλά αφού οι A,B είναι συμμετρικοί και οι  \displaystyle exp {\frac{A}{2}},exp {\frac{B}{2}} είναι .

Αρα και ο M συμμετρικός.

Εχουμε x^{\top }M^{2}x=x^{\top }M^{\top }Mx=\left \| Mx \right \|^{2}

και τελειώσαμε.

Φυσικά ότι οι πίνακες είναι 2 \times 2 δεν χρειάζεται.

Για τις ιδιότητες της εκθετικής βλέπε

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κυρτότητα εκθετικής συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 24, 2019 5:27 pm

Να προσθέσω ότι αν AB \neq BA τότε η ανισότητα δεν ισχύει απαραίτητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες