Tolaso J Kos έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 24, 2019 10:09 pm
Έστω

πρώτος αριθμός και

. Να δειχθεί ότι , αν

και

,

.
Θέτουμε
όπου

το κυκλοτομικό πολυώνυμο.
Είναι γνωστό ότι αυτό είναι ανάγωγο στους ρητούς και οι ρίζες του είναι

όπου

.
Το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα

διαιρεί το
και οι ιδιοτιμές του είναι ρίζες του.
Το

είναι διανυσματικός χώρος διάστασης

πάνω
από τους ρητούς.
Τα
είναι γραμμικώς εξηρτημένα στο
αφού το αθροισμά τους είναι

.
Επίσης παράγουν τον

.
Ετσι κάθε υποσύνολο τους με το πολύ

στοιχεία είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.
Οι ιδιοτιμές του

θα είναι από το σύνολο των

.
Αν δεν είναι όλες

τότε θα υπάρχουν κάποιες το πολύ
από το σύνολο

(δεν εχουμε πρόβλημα αν είναι διπλές ,τριπλές,κλπ)
Επειδή το

και το άθροισμα των ιδιοτιμών είναι
θα έχουμε γραμμικό συνδιασμό των ιδιοτιμών με συντελεστες φυσικούς
να είναι

.
Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας.
Αρα η μόνη ιδιοτιμή το

.
Αρα το ελάχιστο που πρέπει να διαιρεί το

είναι το
Αρα
