Σελίδα 1 από 1

Μηδενικός πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 24, 2019 10:09 pm
από Tolaso J Kos
Έστω p πρώτος αριθμός και A \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{C}). Να δειχθεί ότι , αν A^{p+1}=A και \text{tr}(A)=0 , A=0.

Re: Μηδενικός πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 26, 2019 7:50 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 24, 2019 10:09 pm
Έστω p πρώτος αριθμός και A \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{C}). Να δειχθεί ότι , αν A^{p+1}=A και \text{tr}(A)=0 , A=0.
Θέτουμε f(x)=x^{p+1}-x=x(x-1)\varphi _{p}(x)

όπου \varphi _{p}(x) το κυκλοτομικό πολυώνυμο.

Είναι γνωστό ότι αυτό είναι ανάγωγο στους ρητούς και οι ρίζες του είναι
\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1
όπου
\zeta =e^{\frac{2\pi i}{p}}.

Το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα A διαιρεί το f(x)
και οι ιδιοτιμές του είναι ρίζες του.

Το \mathbb{Q}(\zeta ) είναι διανυσματικός χώρος διάστασης p-1 πάνω
από τους ρητούς.

Τα 1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1

είναι γραμμικώς εξηρτημένα στο \mathbb{Q}(\zeta )

αφού το αθροισμά τους είναι 0.

Επίσης παράγουν τον \mathbb{Q}(\zeta ).

Ετσι κάθε υποσύνολο τους με το πολύ p-1 στοιχεία είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.

Οι ιδιοτιμές του A θα είναι από το σύνολο των 0,1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1.

Αν δεν είναι όλες 0 τότε θα υπάρχουν κάποιες το πολύ p-1

από το σύνολο 1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1
(δεν εχουμε πρόβλημα αν είναι διπλές ,τριπλές,κλπ)

Επειδή το \text{tr}(A)=0 και το άθροισμα των ιδιοτιμών είναι \text{tr}(A)

θα έχουμε γραμμικό συνδιασμό των ιδιοτιμών με συντελεστες φυσικούς
να είναι 0.

Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας.

Αρα η μόνη ιδιοτιμή το 0.

Αρα το ελάχιστο που πρέπει να διαιρεί το f(x) είναι το

m_{A}(x)=x

Αρα A=0