Διανυσματικοί χώροι
Συντονιστής: Demetres
Διανυσματικοί χώροι
Έστω διανυσματικοί χώροι με και γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε: για κάθε δείκτη .Έστω επίσης γραμμικοί ενδομορφισμοί: για κάθε τέτοιοι ώστε:
για κάθε , έστω επίσης το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του . Δείξτε ότι:
καθώς και ότι:
για κάθε , έστω επίσης το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του . Δείξτε ότι:
καθώς και ότι:
Αρμενιάκος Σωτήρης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διανυσματικοί χώροι
Ας αποδείξουμε πρώτα το τελευταίο. Από το θεώρημα rank-nullity καθώς και το γεγονός ότι για κάθε , έχουμε
Άρα τηλεσκοπικά:
αφού .
Για κάθε γράφουμε (ή σκέτο αν το εξυπακούεται) για το σύνολο των ώστε . Αρκεί να δείξουμε ότι .
Αν , τότε άρα και . Από τα δεδομένα παίρνουμε και , δηλαδή . Επειδή επίσης η εικόνα του είναι το αν στην αρχική εκφώνηση αντικαταστήσουμε όλα τα με τα θα ισχύουν όλες οι δεδομένες συνθήκες. Επομένως θα ισχύει και το συμπέρασμα όπως θέλαμε να δείξουμε.
Άρα τηλεσκοπικά:
αφού .
Για κάθε γράφουμε (ή σκέτο αν το εξυπακούεται) για το σύνολο των ώστε . Αρκεί να δείξουμε ότι .
Αν , τότε άρα και . Από τα δεδομένα παίρνουμε και , δηλαδή . Επειδή επίσης η εικόνα του είναι το αν στην αρχική εκφώνηση αντικαταστήσουμε όλα τα με τα θα ισχύουν όλες οι δεδομένες συνθήκες. Επομένως θα ισχύει και το συμπέρασμα όπως θέλαμε να δείξουμε.
Re: Διανυσματικοί χώροι
Ωραία λύση κύριε Δημήτρη, το δείξατε και ανεξάρτητα από τα προηγούμενα. Βγαίνει και με το πρώτο κομμάτι της άσκησης, για αυτό και τα έβαλα μαζί, συγκρίνοντας τους βαθμούς των πολυωνύμων στην ισότητα που ζητείται.
Αρμενιάκος Σωτήρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες