Ανισότητα ορίζουσας

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4001
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα ορίζουσας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 15, 2019 8:32 pm

Έστω A, B \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{R} \right) και \mathrm{rank}(B)=1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right ) \leq \left ( \det A \right )^2}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα ορίζουσας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 16, 2019 1:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:32 pm
Έστω A, B \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{R} \right) και \mathrm{rank}(B)=1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right ) \leq \left ( \det A \right )^2}
Αφού \mathrm{rank}(B)=1
θα είναι
B=PKP^{-1}
οπου ο K εχει μόνο την πρώτη στήλη μη μηδενική.
Εστω ότι είναι η
(b_{1},b_{2},..,b_{n})^{\top }
Από τις ιδιότητες των οριζουσών έχουμε
\displaystyle\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right)
\displaystyle=\det\left ( A + PKP^{-1} \right) \det \left ( A - PKP^{-1} \right)=\det\left ( A + K \right) \det \left ( A - K \right)

Αν (a_{1},a_{2},..,a_{n})^{\top }

η πρώτη στήλη του πίνακα A τότε αναπτύσσοντας ως προς την πρώτη στήλη έχουμε

\displaystyle\det \left ( A + K \right) \det \left ( A - K\right)=(\sum (a_{i}+b_{i})D_{i})(\sum (a_{i}-b_{i})D_{i})\displaystyle=(\sum a_{i}D_{i})^{2}-(\sum b_{i}D_{i})^{2}\leq (\sum a_{i}D_{i})^{2}=\det \left ( A \right)^{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης