Μηδενική ορίζουσα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Μηδενική ορίζουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 13, 2020 11:30 pm

Μεταφέρω τη παρακάτω άσκηση με πολλή επιφύλαξη ως προς τη μετάφραση.

Δίδεται πίνακας A \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right) τέτοιος ώστε

\displaystyle{ A \det A + A^* \det A^*=i \left( A+ A^* \right)}
Να δειχθεί ότι \det A =0 αν ο n περιττός.


Δεν έχω λύση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μηδενική ορίζουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 24, 2020 5:31 pm

Επαναφορά...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
jason.prod
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jason.prod » Κυρ Μάιος 24, 2020 7:23 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 13, 2020 11:30 pm
Μεταφέρω τη παρακάτω άσκηση με πολλή επιφύλαξη ως προς τη μετάφραση.

Δίδεται πίνακας A \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right) τέτοιος ώστε

\displaystyle{ A \det A + A^* \det A^*=i \left( A+ A^* \right)}
Να δειχθεί ότι \det A =0 αν ο n περιττός.
Καλησπέρα. Δίνω μια λύση με μία, κάπως κλασική θα έλεγα, τεχνική.

Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι detA^*\neq i, καθώς τότε, ο θα είχαμε detA=\overline{detA^*}=-i \Rightarrow A=O_n, που είναι άτοπο.
Πολλαπλασιάζοντας τώρα τη σχέση με A από αριστερά και δεξιά και συγκρίνοντας, έχουμε ότι (detA^*-i)AA^*=(i-detA)A^2=(detA^*-i)A^*A, που δίνει άμεσα ότι ο A είναι κανονικός. Συνεπώς, αν \lambda_1,...,\lambda_n οι ιδιοτιμές του, υπάρχει unitary πίνακας U τέτοιος ώστε A=U^*DU, όπου D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n).
Από αυτή τη σχέση, και πολλαπλασιάζοντας δεξιά με U^* και αριστερά με U έπεται ότι DdetD+D^*detD^*=i(D+D^*).
Δηλαδή, οι ιδιοτιμές \lambda_k ικανοποιούν τη σχέση d\lambda_k+\overline{d\lambda_k}=i(\lambda_k+\overline{\lambda_k}), όπου d=detD=\lambda_1\cdots\lambda_n.
Επειδή το άθροισμα ενός αριθμού και του συζυγούς του είναι πραγματικός αριθμός, είναι d\lambda_k+\overline{d\lambda_k}=\lambda_k+\overline{\lambda_k}=0, για κάθε k=1,2,...,n. Αυτό δίνει ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι φανταστικοί αριθμοί, και, επειδή ο n είναι περιττός, η ορίζουσα του Α θα είναι επίσης φανταστικός αριθμός, δηλαδή \overline{d}=-d.
Αν, τώρα d\neq0, θα είναι \lambda_k=\overline{\lambda_k}, για κάθε k, που δίνει ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές.
Αφού είναι, όμως, όλες φανταστικές, είναι προφανώς όλες ίσες με 0, και αυτό δίνει το ζητούμενο άτοπο.


Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μηδενική ορίζουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μάιος 26, 2020 11:53 pm

Έστω \det(A) = z. Τότε έχουμε zA + \bar{z}A^{\ast} = i(A+A^{\ast}). Παίρνοντας conjugate transpose έχουμε επίσης και \bar{z}A^{\ast} + zA = -i(A^{\ast} + A). Οπότε καταλήγουμε ότι A + A^{\ast} = 0. Αλλά τότε είναι και zA + \bar{z}A^{\ast} = 0. Από αυτά τα δυό παίρνουμε (z-\bar{z})A = 0. Αν A = 0 τότε τελειώσαμε. Αλλιώς ο z είναι πραγματικός. Όμως τότε έχουμε

\displaystyle  z = \det(A) = \det(-A^{\ast}) = (-1)^n\det(A^{\ast}) = -\bar{z} = -z

αφού n περιττός. Άρα \det{A} = z = 0 όπως θέλαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης