Αντιστοιχία Πρώτων Ιδεωδών

Συντονιστής: Demetres

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Αντιστοιχία Πρώτων Ιδεωδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Κυρ Μάιος 24, 2020 3:27 pm

Έστω  R μεταθετικός δακτύλιος και  I ιδεώδες του  R . Υπάρχει μια 1-1 και επί αντιστοιχία μεταξύ των πρώτων ιδεωδών του  R που περιέχουν το  I και των πρώτων ιδεωδών του  R/I . Ειδικότερα , κάθε πρώτο ιδεώδες του  R/I είναι της μορφής  J/I , όπου  J πρώτο ιδεώδες του  R τέτοιο ώστε  I \subseteq J .



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Αντιστοιχία Πρώτων Ιδεωδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Μάιος 24, 2020 3:59 pm

Πολύ όμορφο.

Έστω J πρώτο ιδεώδες του R ώστε I\subseteq J. Αρχικά, το J/I\subseteq R/I είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του R/I διότι για κάθε

x+I\,,y+I\in J/I\,,r+I\in R/I έχουμε

(x+I)-(y+I)=(x-y)+I\in J/I (αυτό εξασφαλίζει ότι το J/I είναι υποομάδα του (R/I,+)) και

(x+I)\,(r+I)=x\,r+I\in J\I (διότι x\in J\,,r\in R, άρα x\,r\in J).

Λόγω μεταθετικότητας, αρκεί να αποδείξουμε ότι οποτεδήποτε (x+I)\,(y+I)\in J/I τότε

x+I\in J/I ή y+I\in J/I. Ας είναι λοιπόν x+I\,,y+I\in R/I ώστε (x+I)\,(y+I)\in J/I. Τότε, x\,y+I\in J/I

και συνεπώς x\,y\in J και από το γεγονός

ότι J είναι πρώτο ιδεώδες του R έπεται x\in J ή y\in J, δηλαδή x+I\in J/I ή y+I\in J/I, όπως θέλαμε.

Αντίστροφα τώρα, έστω K ένα πρώτο ιδεώδες του R/I. Θεωρούμε τον επιμορφισμό \pi:R\to R/I\,,\pi(r)=r+I και έχουμε ότι το \pi^{-1}(K) είναι

πρώτο ιδεώδες του R. Πράγματι, για κάθε r\,,s\in R με r\,s\in \pi^{-1}(K) ισχύει \pi(r\,s)\in K\implies \pi(r)\,\pi(s)\in K και επειδή το K είναι

πρώτο, έπεται \pi(r)\in K ή \pi(s)\in K, δηλαδή r\in \pi^{-1}(K) ή s\in \pi^{-1}(K). Επιπλέον, I\subseteq \pi^{-1}(K) διότι για το τυχόν x\in I

έχουμε \pi(x)=x+I=O\in K\iff x\in \pi^{-1}(K). Τέλος, ισχύει ότι K=\pi^{-1}(K)/I


Παπαπέτρος Ευάγγελος
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Αντιστοιχία Πρώτων Ιδεωδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Κυρ Μάιος 24, 2020 9:58 pm

Είναι κλασικό, όμορφο και πολύ χρήσιμο αποτελέσμα! Κάθε βιβλίο πανεπιστημιακής Άλγεβρας σίγουρα το έχει.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αντιστοιχία Πρώτων Ιδεωδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μάιος 25, 2020 11:48 am

Είναι επίσης το πρώτο θεώρημα/πρόταση στο κλασικό βιβλίο μεταθετικής άλγεβρας των Atiyah και Macdonald. Δεν δίνουν καν την απόδειξη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης