Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Maidenas · #1

Έστω ρίζα του πολυωνύμου $\phi (x)=x^n+ \gamma _{n-1}x^{n-1}+...+ \gamma _1 x+ \gamma _0$ , όπου $\gamma _i \in \mathbb{Z}\,\,\,\,\,\,\,\, \forall i \in \left \{ 0,1,2,...,n \right \}$
Δείξτε ότι τότε είτε $p \in \mathbb{Z}$ , είτε $p \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

Το πρώτο μου βγήκε εύκολα, υπέθεσα οτι το $p \in \mathbb{Q}$ άρα μπορεί να γραφεί ως ένα ανάγωγο κλάσμα $p=\frac{b}{a}$ , και τότε
η εξίσωση
$\phi (p)=0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow b^n=-( \gamma _{n-1}b^{n-1}+ \gamma _{n-2}b^{n-2}a+...+ \gamma _1 ba^{n-2} + \gamma _0 a^{n-1})a$

Άρα a|b^n

και αφού μκδ(α,b)=1, τότε $a= \pm 1$

Και άρα p=b

ή

, δηλαδή $p \in \mathbb{Z}$

To ότι η άλλη περίπτωση είναι το p να είναι άρρητος πως θα μπορούσα να το ξεκινήσω;

#2

Maidenas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 5:46 pm

Το πρώτο μου βγήκε εύκολα, υπέθεσα οτι το $p \in \mathbb{Q}$ ...

To ότι η άλλη περίπτωση είναι το p να είναι άρρητος πως θα μπορούσα να το ξεκινήσω;

Αρχικά φαντάζομαι ότι τα $\gamma_i$ είναι ακέραιοι.

Έχεις ήδη ολοκληρώσει την απόδειξη. Διακρίνεις την περίπτωση $p \in \mathbb{Q}$ και έδειξες ότι $p \in \mathbb{Z}$ . Ποιά είναι η άλλη περίπτωση; (Δε θα ξεκινήσεις -όπως λες- ότι το

είναι άρρητος! Αυτό είναι μεταξύ αυτών που θες να δείξεις)

Αλέξανδρος

Maidenas · #3

cretanman έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 5:52 pm
Αρχικά φαντάζομαι ότι τα $\gamma_i$ είναι ακέραιοι.

Έχεις ήδη ολοκληρώσει την απόδειξη. Διακρίνεις την περίπτωση $p \in \mathbb{Q}$ και έδειξες ότι $p \in \mathbb{Z}$ . Ποιά είναι η άλλη περίπτωση; (Δε θα ξεκινήσεις -όπως λες- ότι το είναι άρρητος! Αυτό είναι μεταξύ αυτών που θες να δείξεις)

Ναι, συγγνώμη, τα $\gamma _i$ είναι όλα ακέραιοι αριθμοί.
Σκέφτηκα να πω ας πούμε οτι έστω $p \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ αλλά δεν έχω ιδέα πως να το χρησιμοποιήσω αυτό.
Ενώ για το $\mathbb{Q}$ μπορούσα να πω κάτι για το p.

#4

Maidenas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 6:29 pm
Σκέφτηκα να πω ας πούμε οτι έστω $p \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ αλλά δεν έχω ιδέα πως να το χρησιμοποιήσω αυτό.
Ενώ για το $\mathbb{Q}$ μπορούσα να πω κάτι για το p.

Πάλι πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Ξαναδιάβασε αυτό που σου λέει ο Αλέξανδρος ΚΑΙ ΠΡΟΣΠΑΘΗΣΕ ΝΑ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙΣ γιατί λέει ότι η απόδειξή σου είναι πλήρης.

Περιμένουμε να μας πεις εσύ το γιατί, αν και πρόκειται για ΑΠΟΛΥΤΑ οφθαλμοφανές θέμα.

Maidenas · #5

Αν έλεγε, δείξτε οτι ισχυέι
$p \in \mathbb{Z}$ ή $p \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
απο τη στιγμή που έχω δείξει οτι ο πρώτος ισχυρισμός ειναι αληθής και δεδομένου οτι έχω διάζευξη ακόμα και ψευδής να ήταν ο δεύτερος ισχυρισμός η πρόταση θα ήταν αληθής.

Αν είναι κάτι άλλο, συγγνώμη που δεν μου πάει το μυαλό...

#6

'Οχι, δεν είναι σωστή η εξήγησή σου. Για παράδειγμα δεν ισχύει

Maidenas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 6:45 pm

απο τη στιγμή που έχω δείξει οτι ο πρώτος ισχυρισμός ειναι αληθής...

Δεν έχεις ξεκαθαρίσει τις έννοιες. Άλλο "ο πρώτος ισχυρισμός είναι αληθής" και ΤΕΛΕΙΩΣ άλλο "η συνεπαγωγή $p\in \mathbb Q \Rightarrow p\in \mathbb Z$ είναι αληθής".

Για να δεις ότι αυτό που γράφεις (ότι δηλαδή αληθεύει η $p\in \mathbb Z$ ) είναι λάθος δεν έχεις παρά να εξετάσεις την εξίσωση x^2-2=0

. Οι ρίζες της είναι βέβαια άρρητοι.

Θα σου συνιστούσα ισχυρά να διαβάσεις λίγο Προτασιακό Λογισμό ή έστω να τον καταλάβεις εμπειρικά, γιατί αλλιώς θα έχεις σοβαρό πρόβλημα στην κατανόηση των Μαθηματικών.

Maidenas · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 6:57 pm
Δεν έχεις ξεκαθαρίσει τις έννοιες. Άλλο "ο πρώτος ισχυρισμός είναι αληθής" και ΤΕΛΕΙΩΣ άλλο "η συνεπαγωγή $p\in \mathbb Q \Rightarrow p\in \mathbb Z$ είναι αληθής".

Για να δεις ότι αυτό που γράφεις (ότι δηλαδή αληθεύει η $p\in \mathbb Z$ ) είναι λάθος δεν έχεις παρά να εξετάσεις την εξίσωση . Οι ρίζες της είναι βέβαια άρρητοι.

Θα σου συνιστούσα ισχυρά να διαβάσεις λίγο Προτασιακό Λογισμό ή έστω να τον καταλάβεις εμπειρικά, γιατί αλλιώς θα έχεις σοβαρό πρόβλημα στην κατανόηση των Μαθηματικών.

Έχετε δίκιο. Και γω που το έλεγα ένιωθα οτι κάτι δεν λέω σωστά. Ωστόσο στο επόμενο εξάμηνο (και το προτελευταίο μου) προσφέρεται το μάθημα " Μαθηματική Λογική " και σκοπεύω να το επιλέξω.

Τώρα για την άσκηση αυτή, λέτε οτι η απόδειξή μου είναι πλήρης...

Λοιπόν, το σύνολο των πραγματικών αριθμών διαμερίζεται στους ρητόυς και τους άρρητους. Η υπόθεση ότι αν είχα ρητό p ως ρίζα του πολυωνύμου τότε συνεπάγεται οτι το p είναι ακέραιος.

Τώρα μπορεί να πω πάλι κάτι λάθος...
Αν το p είναι ρίζα του πολυωνύμου και επιπλέον το p είναι ακέραιος, τότε προφανώς το p είναι ρητός. Άρα υπάρχει μια ισοδυναμία εδώ.
Άρα αν το p δεν είναι ακέραιος, τότε δεν είναι ρητός (άρα θα είναι άρρητος)?!

#8

Maidenas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 7:14 pm

Αν το p είναι ρίζα του πολυωνύμου και επιπλέον το p είναι ακέραιος, τότε προφανώς το p είναι ρητός. Άρα υπάρχει μια ισοδυναμία εδώ.
Άρα αν το p δεν είναι ακέραιος, τότε δεν είναι ρητός (άρα θα είναι άρρητος)?!

Προτρέπω και πάλι ότι πρέπει να ξεκαθαρίσεις μερικά πράγματα και να αποβάλεις την συνήθεια για περιττά. Στο παραπάνω δεν μας ενδιαφέρει η ισοδυναμία αλλά μόνο η μία κατεύθυνση. Επίσης, το γεγονός ότι βάζεις ερωτηματικό στο "άρρητος)?!" υπονοεί ότι έχεις κάποια αμφιβολία. Αυτά πρέπει να γίνουν στέρεες γνώσεις.

Maidenas · #9

Το ερωτηματικο το χρησιμοποίησα σαν ερώτηση του τύπου "είναι σωστός ο συλλογισμός;;" Αλίμονο να μην ήξερα οτι όχι ρητός (στους πραγματικούς) σημαίνει άρρητος!

Κατάλαβα εν τέλει. Δεν χρειαζόταν να δείξω κάποια ισοδυναμία, πιο πολύ απροσεξία ήταν, οχι οτι δεν το ήξερα.. σκεφτόμουν το παράδειγμα ας πούμε:
Σήμερα βρέχει, άρα σήμερα έχει συννεφιά.
Αν δεν βρέχει δεν σημαίνει απαραίτητα οτι δεν έχει συννεφιά.

Ενώ αυτό που έπρεπε να χρησιμοποιήσω απλώς στην άσκηση αυτή ήταν η άλλη κατεύθυνση: Αν δεν έχει συννεφιά, δεν βρέχει.
Ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια!

Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Re: Ρίζα μονικού πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση