Εξίσωση x^2= [0]

Maidenas · #1

Έστω $n=p_1^{n_1}........p_s^{n_s}$ ανάλυση σε γινόμενο διακεκριμένων πρώτων αριθμών και $n_i >0\,\,\,\, \forall i$ . Να βρείτε όλα τα $x \in \mathbb{Z}_n$ με .

Έστω $x=[a] \in \mathbb{Z}_n$ , τότε x^2=[a^2]

και άρα έχουμε την εξίσωση
$[a^2]=[0] \Leftrightarrow a^2 \equiv 0 \, (mod n) \Leftrightarrow n|a^2 \Leftrightarrow p_1^{n_1}........p_s^{n_s}|a^2$

και επειδή $\mu \kappa \delta (p_1^{n_1},..,p_s^{n_s})=1$ θα έχουμε:

$\left.\begin{matrix} p_1^{n_1}|a^2\\ ... \\ p_s^{n_s}|a^2 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} p_1^{n_1}|p_1^{2a_1}........p_s^{2a_s}\\ \\ p_s^{n_s}|p_1^{2a_1}........p_s^{2a_s} \end{matrix}\right.$ όπου $a_i \geq 0$ ακέραιοι.

Σε αυτό το σημείο έχω κολλήσει.Θα ήθελα να κρατήσω εκείνους τους παράγοντες $p_i^{k_i}$ που χρειάζονται ώστε
$\left\{\begin{matrix} p_1^{k_1}|a\\ \\ p_s^{k_s}|a \end{matrix}\right.$ έτσι ώστε $p_1^{k_1}...p_s^{k_s}|a$

Και άρα το σύνολο λύσεων στο $\mathbb{Z}_n$ να είναι

$x=[0], [p_1^{k_1}...p_s^{k_s}], [2 p_1^{k_1}...p_s^{k_s}] ,...,[t p_1^{k_1}...p_s^{k_s}]$ για κάποιο $t \in \mathbb{Z}$ .

Είναι εύκολο κάποια υπόδειξη;

#2

Μέχρι την μέση καλά, αλλά πλατειάζει. Πρέπει να ξεφύγεις από αυτή την νοοτροπία, ιδίως για τόσο απλά θέματα.

Μία υπόδειξη από το σημείο $p_1^{n_1}|p_1^{2a_1}........p_s^{2a_s} \, (*)$ (και τα όμοιά του) και κάτω:

Ισχύει η (*)

αν και μόνον αν $n_1 \le 2a_1$ .

Συνέχισε.

Maidenas · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 18, 2020 11:33 am
Μέχρι την μέση καλά, αλλά πλατειάζει. Πρέπει να ξεφύγεις από αυτή την νοοτροπία, ιδίως για τόσο απλά θέματα.

Μία υπόδειξη από το σημείο $p_1^{n_1}|p_1^{2a_1}........p_s^{2a_s} \, (*)$ (και τα όμοιά του) και κάτω:

Ισχύει η αν και μόνον αν $n_1 \le 2a_1$ .

Συνέχισε.

Την είχα παρατηρήσει αυτή την σχέση, αλλά δεν ήξερα πως να την χρησιμοποιήσω.
Αν ήταν όλα τα n_i

άρτιοι τότε θα είχαμε ακέραια $\frac{n_i}{2}\leq a_i$ και έτσι τα αντίστοιχα $p_i^{\frac{n_i}{2}}$ θα ήταν ακέραιοι που όλα θα διαιρούσαν το α, και επειδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους θα είναι 1 τότε και το γινόμενό τους θα διαιρεί το α.

#4

Maidenas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 18, 2020 12:14 pm

Την είχα παρατηρήσει αυτή την σχέση, αλλά δεν ήξερα πως να την χρησιμοποιήσω.
Αν ήταν όλα τα άρτιοι τότε θα είχαμε ακέραια $\frac{n_i}{2}\leq a_i$ και έτσι τα αντίστοιχα $p_i^{\frac{n_i}{2}}$ θα ήταν ακέραιοι που όλα θα διαιρούσαν το α, και επειδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους θα είναι 1 τότε και το γινόμενό τους θα διαιρεί το α.

Όχι. Έχασες την ουσία. Π.χ. θα μπορούσε κάποιο n_i

να είναι περιττός, αρκεί να ισχύει η $\frac{n_i}{2}\leq a_i$ . Π.χ. τίποτα δεν αποκλείει να είναι n_i=3

και

. Υπόψη ότι τα n_i

δεν τα επιλέγεις αλλά δίνονται από την αρχή.

Maidenas · #5

Θα επιχειρήσω μια λύση ...

Έστω $n=p_1^{n_1}........p_s^{n_s}$ ανάλυση σε γινόμενο διακεκριμένων πρώτων αριθμών και $n_i >0\,\,\,\, \forall i$ . Να βρείτε όλα τα $x \in \mathbb{Z}_n$ με .

Έστω $x=[a] \in \mathbb{Z}_n$ , τότε x^2=[a^2]

και άρα έχουμε την εξίσωση
$[a^2]=[0] \Leftrightarrow a^2 \equiv 0 \, (mod n) \Leftrightarrow n|a^2 \Leftrightarrow p_1^{n_1}........p_s^{n_s}|a^2$

και επειδή $\mu \kappa \delta (p_1^{n_1},..,p_s^{n_s})=1$ θα έχουμε:

$\left.\begin{matrix} p_1^{n_1}|a^2\\ \vdots \\ p_s^{n_s}|a^2 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} p_1^{n_1}|p_1^{2a_1}........p_s^{2a_s}\\ \vdots \\ p_s^{n_s}|p_1^{2a_1}........p_s^{2a_s} \end{matrix}\right.$ όπου $a_i \geq 0$ ακέραιοι.

Στην συνέχεια εφόσον $\forall i$ ισχύει $\frac{n_i}{2} \leq a_i$ και άρα $\lfloor \frac{n_i}{2} \rfloor \leq \frac{n_i}{2} \leq a_i$ , τότε

$\left\{\begin{matrix} p_1^{\lfloor \frac{n_1}{2} \rfloor}|a\\ \vdots \\ p_s^{\lfloor \frac{n_s}{2} \rfloor}}|a \end{matrix}\right. \Leftrightarrow p_1^{\lfloor \frac{n_1}{2} \rfloor} \cdots p_s^{\lfloor \frac{n_s}{2}\rfloor}|a$

Άρα
$x=[p_1^{\lfloor \frac{n_1}{2} \rfloor} \cdots p_s^{\lfloor \frac{n_s}{2}\rfloor}], [2p_1^{\lfloor \frac{n_1}{2} \rfloor} \cdots p_s^{\lfloor \frac{n_s}{2}\rfloor}], \cdots , [tp_1^{\lfloor \frac{n_1}{2} \rfloor} \cdots p_s^{\lfloor \frac{n_s}{2}\rfloor}]$

Αυτό το ακέραιο t τώρα ποιο θα είναι;

Maidenas · #6

άλλα τώρα που το σκέφτομαι ίσως είναι λάθος αυτό που έγραψα...

πχ. αν $3|a^2 \Rightarrow 3|a$

Maidenas · #7

Είναι εύκολο να μου δώσετε την απάντηση; Ποιες ειναι τελικά αυτές οι λύσεις της εξίσωσης; Αυτό που έγραψα ήταν λάθος τελικά;

Maidenas · #8

Τώρα που το ξανασκέφτομαι.... νομίζω το βρήκα!!! Δεν θέλουμε την συνάρτηση "ακέραιο μέρος του $\frac{n_i}{2}$ ".αλλά θέλουμε την συνάρτηση που απεικονίζει το $\frac{n_i}{2}$ στον μικρότερο ακέραιο που δεν είναι μικρότερος απο το $\frac{n_i}{2}$ .

Εξίσωση x^2= [0]

Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Re: Εξίσωση x^2= [0]

Μέλη σε σύνδεση