Βάση στον R^5

#1

Έστω $W=span \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1\\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right)$

α) Βρείτε μια βάση $\mathcal{B}$ του

β) Βρείτε μια βάση του $\mathbb{R}^5$ που περιέχει την $\mathcal{B}.$

#2

socrates έγραψε: Τρί Αύγ 25, 2020 11:47 pm Έστω $W=span \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1\\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right)$

α) Βρείτε μια βάση $\mathcal{B}$ του
β) Βρείτε μια βάση του $\mathbb{R}^5$ που περιέχει την $\mathcal{B}.$

Μπορούμε να εργαστούμε με γραμμοπράξεις ακολουθώντας την στάνταρ διαδικασία, αλλά ας δουλέψουμε πιο πρακτικά.

Tα διανύσματα αυτά είναι ήδη γραμμικά ανεξέρτητα (βλέπε παρακάτω) οπότε είναι βάση.

Για την ανεξαρτησία, έστω af_1+bf_2+cf_3=0

, όπου

τα παραπάνω διανύσματα.

Κοιτώντας την δεύτερη γραμμή έπεται ότι b=0

. Με αυτό ως δεδομένο, κοιτώντας την τέταρτη γραμμή, έπεται a=0

. Με αυτό δεδομένο, κοιτώντας την πρώτη γραμμή, έπεται c=0

.

Επέκταση της βάσης σε όλο τον χώρο μπορούμε να κάνουμε ως εξής: Δεδομένου ότι στο παραπάνω χρησιμοποιήσαμε την 1η, 2η και 4η γραμμή, πονηρευόμαστε και προσθέτουμε τα e_3, e_5

(της συνήθους βάσης). Τα f_1,f_2,f_3, e_3,e_5

είναι ανεξάρτητα με ακριβώς τον ίδιο συλλογισμό. Συγκεκριμένα, αν af_1+bf_2+cf_3+de_3+pe_5=0

, τότε τα ίδια βήματα δίνουν a=b=c=0

. Και τώρα είναι άμεσο ότι d=p=0

.

Βάση στον R^5

Βάση στον R^5

Re: Βάση στον R^5

Μέλη σε σύνδεση